IMO 2013

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Bewijs dat voor elk paar natuurlijke getallen $k$ en $n$, er $k$ natuurlijke getallen $m_1, m_2, \ldots, m_k$ bestaan (niet noodzakelijk verschillend) zodat $ 1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\dots\left(1+\frac{1}{m_k}\right). $

Vraag 2

$4027$ punten waarvan $2013$ rode punten en $2014$ blauwe punten in het vlak worden Colombiaans genoemd als er geen $3$ punten collineair zijn.

We mogen het vlak verdelen in regio's door enkele lijnen te trekken.
Hierbij is een verdeling ten gevolgde van de lijnen goed voor de Colombiaanse configuratie als ze voldoet aan

a) er geen lijn door een punt gaat

b) geen enkele regio bevat zowel een blauw als een rood punt.

Vind de minimale waarde $k$ die je nodig hebt opdat je iedere Colombiaanse puntenset kan verdelen in een goede verdeling met $k$ lijnen.

Vraag 3

Laat de aangeschreven cirkel van $\triangle ABC$ tegenover het hoekpunt A raken aan lijnstuk BC
in het punt $A_1$.
Definieer de punten $B_1$ op lijnstuk CA en $C_1$ op lijnstuk AB analoog, gebruik makend
van de aangeschreven cirkels tegenover respectievelijk B en C.
Veronderstel dat het middelpunt van de omgeschreven cirkel van $\triangle A_1B_1C_1$ op de omgeschreven cirkel van $\triangle ABC$ ligt.
Bewijs dat $\triangle ABC$ rechthoekig is.

Dag 2

Vraag 1 Opgelost!

Zij $\triangle ABC$ een scherphoekige driehoek met hoogtepunt $H$.
Zij $W$ een punt verschillend van B en C op het lijnstuk BC. Laat M en N de voetpunten zijn van de hoogtelijnen vanuit respectievelijk B en C.
Zij $\omega_1$ de omgeschreven cirkel van $\triangle BWN$ en zij X het punt op $\omega_1$ zodanig dat WX een middellijn van $\omega_1$ is.
Analoog, zij $\omega_2$ de omgeschreven cirkel van $\triangle CWM$ en
zij $Y$ het punt op $\omega_2$ zodanig dat $WY$ een middellijn van $\omega_2$ is.
Bewijs dat $X, Y $ en $H$ collineair zijn.

Vraag 2 Opgelost!

Zij $\mathbb Q_{>0}$ de verzameling van (strikt) positieve rationale getallen. Zij $f \mathbb Q_{>0} \to \mathbb R$ een
functie die aan de volgende drie voorwaarden voldoet:
(i) voor alle $x, y \in \mathbb Q_{>0}$ geldt $f(x)f(y) \geq f(xy)$
(ii) voor alle $x, y \in \mathbb Q_{>0}$ geldt $f(x + y) \geq f(x) + f(y)$
(iii) er bestaat een rationaal getal a > 1 zodat $f(a) = a$.
Bewijs dat $f(x) = x$ voor alle $x \in \mathbb Q_{>0}$.

Vraag 3

Zij $n$ > $3$ een geheel getal. Beschouw een cirkel met daarop $n+1$ punten die op onderling
gelijke afstand liggen.
Beschouw alle manieren om deze punten met de getallen $0, 1,\cdots , n$ te labelen
zodanig dat elk getal precies $1$ keer wordt gebruikt:
twee zulke manieren worden als gelijk beschouwd als je de ene uit de andere kan verkrijgen door draaiing van de cirkel.
We noemen een manier om de punten te labelen mooi als voor elk viertal labels a < b < c < d met $a + d = b + c$, de koorde tussen a en d geen snijpunt heeft met de koorde tussen b en c.

Zij M het aantal mooie manieren om de punten te labelen, en zij N het aantal geordende paren $(x, y)$ van (strikt) positieve gehele getallen zodanig dat $x + y \le n$ en $ggd(x, y) = 1$.
Bewijs dat $M = N + 1$.