IMO 2007

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Gegeven zijn reele getallen $a_1,a_2,\cdots,a_n$. Definieer
$d_i=max\{a_j|1\le j \le i\}- min \{ a_j| i\le j \le n\}$ voor elke $i$ tussen $1$ en $n$ en laat $d=max\{d_i|1\le i \le n\}.$

(a) Bewijs dat voor alle getallen $x_1\le x_2 \le \cdots \le x_n \in \mathbb{R}$ geldt dat
$max \{ |x_i-a_i| | 1 \le i \le n \} \ge \frac{d}{2}$ $[1]$

(b) Bewijs dat er zo'n rij $(x_n)_n$ was zodat er gelijkheid geldde in $[1]$

Vraag 2 Opgelost!

Gegeven zijn vijf punten $A, B, C, D $en $E$ zodanig dat $ABCD$ een parallellogram is en $BCED $ een koordenvierhoek. Zij $l$ een lijn (een rechte) door $A,$ die het inwendige van het lijnstuk $DC$ snijdt in $F $ en die de lijn $BC$ snijdt in $G.$ Veronderstel dat $|EF| = |EG| = |EC|. $

Bewijs dat $l$ de bissectrice is van hoek $DAB.$

Vraag 3

Bij een wiskundewedstrijd zijn sommige deelnemers met elkaar bevriend.
Vriendschap is altijd wederkerig. Noem een groep deelnemers een kliek als binnen die
groep iedereen met ieder ander bevriend is. (In het bijzonder is elke groep van minder
dan twee deelnemers een kliek.) Noem het aantal personen in een kliek de omvang van
die kliek. Veronderstel dat de grootste omvang van de klieken bij deze wedstrijd even is.
Bewijs dat de deelnemers over twee zalen kunnen worden verdeeld zodanig dat de
grootste omvang van de klieken in de ene zaal gelijk is aan de grootste omvang van de
klieken in de andere zaal.

Dag 2

Vraag 1 Opgelost!

Gegeven is een driehoek $ABC$.
De bissectrice van hoek $BCA$ snijdt de omgeschreven cirkel van driehoek ABC in het punt $R$ ($R \not= C$), de middelloodlijn van de zijde BC in het punt P en de middelloodlijn van de zijde AC in het punt Q.
Het midden
van BC is K en het midden van AC is L.
Bewijs dat de driehoeken RPK en RQL dezelfde oppervlakte hebben.

Vraag 2

$a,b \in \mathbb N.$
Bewijs dat $4ab-1|(4a^2-1)^2$ aesa $a=b.$

Vraag 3

Zij $n \in \mathbb{N}$ en beschouw de verzameling $$S =\left\{ (x,y,z)\mid x,y,z\in\{ 0, 1,\ldots, n\}, x+y+z > 0\right\}.$$
Bepaal het minimum aantal vlakken dat nodig is om alle punten van $S$ te bevatten, waarbij geen enkel vlak het punt $(0,0,0)$ bevat.