1 vd makkelijkste IMO meetkundevragen

Neem $X$ op $KP$ zodat $CK//XR$. Neem analoog $Y$ op $LQ$ zodat $CL//YR$. Nu geldt dat $Opp(\triangle RPK)=\frac12\cdot |PK|\cdot |RX|$. Analoog is $Opp(\triangle RQL)=\frac12\cdot |QL|\cdot |RY|$. Te bewijzen is dus dat $\frac{|PK|}{|QL|}=\frac{|RY|}{|RX|}$.

Merk eerst een paar gelijkvormigheden op:

$\triangle CKP$ ~ $\triangle CLQ$ (1)
Deze volgt uit het feit dat $\angle KCP=\angle BCP=\angle ACP=\angle LCP$ (bissectrice) en $\angle CKP=90\deg =\angle CLQ$ (middelloodlijn).

$\triangle CKP$ ~ $\triangle RYQ$ (2)
Deze volgt uit het feit dat $\angle KCP=\angle BCP=\angle ACP=\angle PRY=\angle QRY=\angle YRQ$ (verwisselende binnenhoeken) en $\angle CKP=90\deg =\angle RYQ$ (middelloodlijn en constructie).

$RQZX$ ~ $CPZL$ waarbij $Z$ het snijpunt is van $XK$ en $YL$ (3)
Deze volgt uit het feit dat $\angle CLZ=90\deg =\angle RXZ$, $\angle LZP=\angle XZQ$ (snijdende rechten) en $\angle LCP=\angle XRQ$ (Bissectrice en verwisselende binnenhoeken, zelfde principe als hiervoor).

Uit (1) volgt dat $\frac{|PK|}{|QL|}=\frac{|CK|}{|CL|}$.

Uit (2) en (3) volgt dat $\frac{|CK|}{|RY|}=\frac{|CP|}{|RQ|}=\frac{|CL|}{|RX|}$ en hieruit

$\frac{|CK|}{|CL|}=\frac{|RY|}{|RX|}$

En deze gecombineerd geeft het gevraagde.

Er zijn twee gevallen, afhankelijk van de ligging van Z. Het andere geval gaat analoog, vervang hiervoor $X$ door $Y$ en andersom.

In het geval dat $P=Q$, heb je dat $Z=P=Q$. In dat geval is de vraag waar wegens symmetrie.

$QED$