IMO 2005

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Op de zijden van gelijkzijdige driehoek ABC zijn zes punten gekozen: $A_1, A_2$ op $BC$, $B_1$, $B_2$ on $CA$ and $C_1, C_2$ on $AB$, zodat zij de hoekpunten vormen van een convexe zeshoek $A_1A_2B_1B_2C_1C_2$ met gelijke zijden. Bewijs dat de rechten $A_1B_2$,$B_1C_2$ and $C_1A_2$ concurrent zijn.

Vraag 2 Opgelost!

We hebben een oneindige rij $a_1,a_2,\cdots$ van gehele getallen zodat geldt dat $a_1,\cdots,a_n$ de $n$ resten modulo $n$ vertegenwoordigen.
De rij bevat zowel oneindig veel positieve als negatieve waarden,
Bewijs dan dat de rij ieder gehele getal exact $1$ keer bevat.

Vraag 3 Opgelost!

Zij $x,y,z \in \mathbb R^+_0$ met $xyz\geq 1$. Toon aan dat $$\frac { x^5-x^2 }{x^5+y^2+z^2} + \frac {y^5-y^2}{x^2+y^5+z^2} + \frac{z^5-z^2}{x^2+y^2+z^5} \geq 0.$$

Dag 2

Vraag 1 Opgelost!

Vind alle positieve getallen die relatief zijn met iedere term van de rij
$a_n=2^n+3^n+6^n-1,\ n\geq 1.$

Vraag 2 Opgelost!

Laat $ABCD$ een convexe vierhoek met $BC = DA$ en $BC$ niet evenwijdig met $DA$. Gegeven 2 variabel punten $E$ en $F$ op zijden $BC$ en $DA$, respectievelijk, waarbij $BE = DF$. De rechten $AC$ en $BD$ snijden in $P$, $BD$ en $EF$ snijden in $Q$, en $EF$ en $AC$ snijden in $R$.

Te bewijzen: Al de omgeschreven cirkels van driehoek $PQR$, waarbij $E$ en $F$ variëren, hebben een gemeenschappelijk punt ongelijk aan $P$.

Vraag 3

Op een wiskundewedstrijd met $6$ problemen, geldt dat iedere $2$ problemen door meer dan $\frac 25$ van de deelnemers beide goed werden beantwoord.
Niemand kon alle $6$ vragen juist beantwoorden.
Bewijs dat er minstens $2$ deelnemers $5$ vragen goed beantwoordden.