a famous inequality

We herschrijven de ongelijkheid als volgt: $\sum_{cycl} \frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2} \geq 0 \Leftrightarrow \sum_{cycl} (\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{x^5+y^2+z^2}) \geq \sum_{cycl} \frac{x^2+y^2+z^2}{x^5+y^2+z^2} \Leftrightarrow 3 \geq \sum_{cycl} \frac{x^2+y^2+z^2}{x^5+y^2+z^2}$.

Nu gebruiken we de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz. Er geldt dat $(x^5+y^2+z^2)(\frac 1x +y^2+z^2) \geq (x^2+y^2+z^2)^2 \Leftrightarrow \frac{\frac 1x+y^2+z^2}{x^2+y^2+z^2} \geq \frac{x^2+y^2+z^2}{x^5+y^2+z^2}$. Dus $ \sum_{cycl} \frac{x^2+y^2+z^2}{x^5+y^2+z^2} \leq \sum_{cycl} \frac{\frac 1x+y^2+z^2}{x^2+y^2+z^2}=2+\frac{\frac 1x+\frac 1y +\frac 1z}{x^2+y^2+z^2} \leq 2+\frac{xy+yz+xz}{x^2+y^2+z^2} \leq 3$.
Dat laatste wegens $AM-GM.$
Q.E.D.