relatief priem met rij

$1$ is het enige getal dat voldoet. Dit zullen we nu bewijzen.

Merk op dat elke term van de rij deelbaar is door twee.

Er geldt dat $a_2=48$ is deelbaar door $3$.

Zij $p$ een priemgetal groter dan $3$. Wegens de kleine stelling van Fermat geldt dan dat $2^{p-1} \equiv 3^{p-1} \equiv 1 \pmod p$. Er geldt dat $6 a_{p-2} = 3 \cdot 2^{p-1} +2 \cdot 3^{p-1}+6^{p-1}-6 \equiv 3+2+1-6=0 \pmod p$. Omdat $ggd(p,6)=1$, zal $a_{p-2} \equiv 0 \pmod p$.

We hebben dus aangetoond dat er voor elk priemgetal $p$ minstens één term van de rij is die deelbaar is door dit priemgetal. Zij nu $b$ een willekeurig getal groter dan $1$. Zij $p$ een priemfactor van $b$. Dan bestaat er een $k$ zodat $p \mid a_k$. Dus $p \mid ggd(a_k, b)$ en $b$ en $a_k$ zijn niet relatief.

Hieruit volgt dat $1$ het enige getal is dat voldoet. Q.E.D.