IMO 2003

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Laat $S=\{1,2,...,10^6\}$. Bewijs dat voor elke deelverzameling $A$ van $S$ met 101 elementen, we $100$ verschillende elementen $x_i$ van $S$ kunnen vinden zodat al de verzamelingen $\{a+x_i\mid a\in A\}$ twee aan twee een lege doorsnede hebben.

Vraag 2

Vind alle paren $(m,n)$ van positieve, gehele getallen zodat $\frac{m^2}{2mn^2-n^3+1}$ ook een positief, geheel getal is.

Vraag 3

Een convexe zeshoek heeft de eigenschap dat voor elk paar van tegenoverliggende zijden de afstand tussen hun middelpunten $\sqrt{3}/2$ keer de som van hun lengten is. Bewijs dat alle hoeken van de zeshoek gelijk zijn.

Dag 2

Vraag 1 Opgelost!

Gegeven een koordenvierhoek $ABCD$. De voetpunten van de loodlijnen van $D$ naar $AB,BC,CA$ respectievelijk zijn $P,Q,R$. Bewijs dat de bissectrice van $ABC$ en $CDA$ elkaar snijden op $AC$ als en slechts als $RP=RQ$.

Vraag 2 Opgelost!

Gegeven $n>2$ en reële getallen $x_1\leq x_2\leq \dots \leq x_n$, bewijs dat $$\Big(\sum_{i,j}\mid x_i-x_j\mid\Big)^2\leq \frac23(n^2-1)\sum_{i,j}(x_i-x_j)^2$$
Bewijs dat er gelijkheid is aesa de rij een rekenkundige rij is

Vraag 3 Opgelost!

Bewijs dat voor elk priemgetal $p$ er een priemgetal $q$ bestaat zodat $n^p-p$ niet deelbaar is door $q$ voor elk positief, geheel getal $n$.