ongelijkheid

Neem nu een willekeurige rij $x_i$ en zij $y_i=x_i-G$ met $G$ het rekenkundig gemiddelde van $x_1,x_2,\dots, x_n$. Omdat $|x_i-x_j|=|y_i-y_j|$ voor alle $1\le i,j\ne n$,
is het gevraagde hetzelfde.
Het is dus voldoende de ongelijkheid te bewijzen in het geval voor de rij $y_i$ die voldoet aan $\sum y_i=0$.

Het is niet moeilijk in te zien dat het linkerlid gelijk is aan $$\left(\sum_{i=1}^{n}(4i-2-2n)y_i\right)^2$$
Immers, $y_i$ wordt $2(i-1)$ keer opgeteld en $2(n-i)$ keer afgetrokken in de som tussen de haakjes van het linkerlid, de coëfficiënt van $y_i$ is dus $2(2i-n-1)$
Passen we Cauchy-Schwartz toe op deze uitdrukking bekomen we het te bewijzen
$$4\left(\sum_{i=1}^{n}(2i-1-n)^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n}y_i^2\right)\leq RL$$

Het rechterlid kunnen we ook anders schrijven: we hebben namelijk \begin{align} \sum_{i,j}(y_i-y_j)^2&=2(n-1)\sum y_i^2-4\sum_{1 \leq i < j \leq n}y_iy_j \\&=2n\sum y_i^2-2\sum_{1 \leq i,j \leq n}y_iy_j \\ &= 2n\sum y_i^2-2\left(\sum y_i\right)^2\end{align}

We kunnen nu het te bewijzen herschrijven als $$0=(n^2-1)\left(\sum y_i\right)^2\leq \left(n(n^2-1)-3\sum_{i=1}^{n}(2i-1-n)^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n}y_i^2\right)$$

Merk op dat \begin{align} n(n^2-1)-3\sum_{i=1}^{n}(2i-1-n)^2 &=n(n^2-1)-3\left(4\sum_{i=1}^{n}i^2+n(n+1)^2-4(n+1)\sum_{i=1}^{n}i\right)\\&=n(n^2-1)-2n(n+1)(2n+1)+3n(n+1)^2\\&=0\end{align}.

Voor de gelijkheid:
We weten dat er gelijkheid was asa de toegepaste Cauchy-Schwarz gelijkheid gaf en dit is als en slechts als $\frac{y_i}{2i-n-1}$ constant is voor alle $i$. Dit betekent dat voor een bepaalde $c$ alle $y_i$ van de vorm $2ci-(cn-c)$ zijn.

Er geldt dus in dat geval dat $x_i=2ci-(cn-c)+G$ wat een rekenkundige rij is.
Door $c$ en $G$ correct te kiezen, zal iedere rekenkundige rij in deze schrijfwijze geschreven kunnen worden en dus geeft iedere rekenkundige rij gelijkheid.
QED