bissectrices en diagonaal concurrent
Opgave - IMO 2003 dag 2 vraag 1
Gegeven een koordenvierhoek $ABCD$. De voetpunten van de loodlijnen van $D$ naar $AB,BC,CA$ respectievelijk zijn $P,Q,R$. Bewijs dat de bissectrice van $ABC$ en $CDA$ elkaar snijden op $AC$ als en slechts als $RP=RQ$.
- login om te reageren
Oplossing
Dat de bissectrice van $ABC$ en $CDA$ elkaar snijden op $AC$ is equivalent met $|AD|\cdot |BC|=|AB|\cdot |DC|$
Dit is gewoon twee keer de bissectricestelling toepassen in $\triangle ABC$ en $\triangle ADC$. $(*)$
Zei $R$ de straal van de omgeschreven cirkel van $\triangle ABC$, dan is $|BC|/2R=sin(BAC)$ wegens de uitgebreide sinusregel. Verder is $ARDP$ een koordenvierhoek met diameter $|AD|$ en dus is $|PR|=|AD|sin(PAR)$ wegens de uitgebreide sinusregel in $\triangle PAR$. Omdat $sin(PAR)=sin(BAC)$ hebben we dat $|PR|=|DA|\cdot |BC| /2R$.
Herhalen we volledig analoog de vorige procedure in $\triangle RQC$ vinden we $|RQ|=|DC|\cdot |AB| /2R$.
We zien dat $|PR|=|RQ|$ equivalent is met $|AD|\cdot |BC|=|AB|\cdot |DC|$ en dus zijn we klaar wegens $(*)$
Merk op dat de voorwaarde dat $ABCD$ een koordenvierhoek is, overbodig is,
In dat geval hebben de $2$ lijnstukken wel ook gelijke richting ($\vec{PR}=\vec{RQ}$) (helft van de Simsonlijn).