IMO 2002

Dag 1

Vraag 1

Zij $n$ een natuurlijk getal. Alle punten $(x,y)$ in het vlak, met $x,y \geq 0$ gehele getallen zodat $x+y < n$, worden rood of blauw gekleurd volgens deze regel:
als een punt $(x,y)$ rood is, dan zijn alle punten $(x',y')$ met $x'\leq x$ en $y'\leq y$ ook rood.

Zij $A$ het aantal manieren om $n$ blauwe punten te kiezen, met verschillende $x$-coördinaten, en zij $B$ het aantal manieren om $n$ blauwe punten te kiezen met verschillende $y$-coördinaten.

Bewijs dat $A=B$.

Vraag 2 Opgelost!

De cirkel $S$ heeft centrum $O$ en een diameter $BC$. Zij $A\in S$ zodat $\angle AOB < 120{{}^\circ}$. Zij $D$ het midden van de boog $AB$ die $C$ niet bevat. De lijn door $O$, evenwijdig aan $DA$ snijdt $AC$ in $I$. De middelloodlijn van $OA$ snijdt $S$ in $E$ en $F$. Bewijs dat $I$ het middelpunt van de ingeschreven cirkel is van $\triangle CEF$.

Vraag 3

Vind alle paren $m,n\geq3$ van gehele getallen zodat er oneindig veel natuurlijke $a$ bestaan zodat $\frac{a^m+a-1}{a^n+a^2-1}$ een geheel getal is.

Dag 2

Vraag 1

Laat $n\geq2$ een geheel getal, met delers$1=d_1 < d_2 < \,\ldots < d_k=n$. Bewijs dat $d_1d_2+d_2d_3+\,\ldots\,+d_{k-1}d_k < n^2$, en bepaal wanneer die som $n^2$ deelt.

Vraag 2 Opgelost!

Vind alle $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ waarvoor $$\left(f(x)+f(z)\right)\left(f(y)+f(t)\right)=f(xy-zt)+f(xt+yz)$$ voor alle reële $x,y,z,t$.

Vraag 3

Zij $n\geq3$ een geheel getal. Laat $C_1,C_2,C_3,\ldots,C_n$ eenheidscirkels zijn in het vlak, met centra $O_1,O_2,O_3,\ldots,O_n$ (respectivelijk). Als geen enkele lijn in het vlak meer dan 2 cirkels snijdt, bewijs dat $$\sum_{1\leq i < j\leq n}{1\over O_iO_j}\leq{(n-1)\pi\over 4}$$