IMO 1996

Dag 1

Vraag 1

We hebben een rechthoek $ABCD$ met zijdelengten $[BC]=12$ en $[AB]=20$ verdeeld in $240$ eenheidsvierkantjes.
We kunnen een vierkantje verplaatsen naar een ander vierkantje als het verschil tussen de twee centra van die vierkantjes gelijk is aan $\sqrt{r}$.
De bedoeling is om het vierkantje met hoekpunt $A$ te verplaatsen naar het vierkantje met hoekpunt $B$.

Bewijs dat dit onmogelijk is wanneer $2|r$ of $3|r$.

Het is mogelijk als $r=73$, bewijs.

Is het mogelijk als $r=97$?

Vraag 2 Opgelost!

Zij $P$ een punt in een driehoek $ABC$ waarvoor geldt dat
\[ \angle APB - \angle ACB = \angle APC - \angle ABC.
\]
Zij $D,E$ de incentra van driehoeken $APB$ en $APC$ resp.
Bewijs dat $AP,BD, CE$ allen door één punt gaan, i.e. concurrent zijn.

Vraag 3 Opgelost!

Vind alle functies $f \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ die voldoen aan $f(m+f(n)) = f(f(m))+f(n)\qquad\text{for all}\; m, n\in\mathbb{N}. $

Dag 2

Vraag 1

Er geldt dat $a>0$ en $b>0$ natuurlijke getallen zijn, waarvoor $15a+16b$ en $16a-15b$ volkomen kwadraten zijn.
Wat is de kleinste waarde die de kleinste van deze $2$ kwadraten kan aannemen?

Vraag 2

Zij $ABCDEF$ een convexe hexagon zodat AB parallel is met DE,
BC parallel is met EF en CD parallel is met F A.
Zij $R_A, R_C, R_E$ de straal van de omgeschreven cirkels van driehoeken $ FAB, BCD, DEF$ respectivelijk en $p$ de omtrek van de zeshoek.

Bewijs dat $R_A+R_C+ R_E \ge \frac p2$.

Vraag 3

$p,q,n \in \mathbb{N}$ , $n> p+q$ en $(x_0,\cdots, x_n)$ $n+1$ gehele getallen zodat $x_0=x_n=0$ en $x_i-x_{i-1}=$ $p$ of $-q$ met $i \in \{1,2\cdots n\}.$
Bewijs dat er $x_i=x_j$ met $i>j$ en $(i,j) \not=(0,n)$