IMO 1986

Dag 1

Vraag 3

Aan elk hoekpunt van een regelmatige vijfhoek wordt een geheel getal
toegevoegd zo, dat de som van deze vijf getallen strikt positief is. Indien
aan drie opeenvolgende hoekpunten respectievelijk de getallen $x, y $ en $ z$
toegevoegd zijn waarbij $y < 0$, dan is de volgende bewerking toegelaten:
het drietal $(x, y, z)$ wordt vervangen door het drietal $(x + y,-y,y + z).$
Deze bewerking wordt hernomen zolang ten minste $1$ van de $5$ getallen
strikt negatief is.
Bepaal of deze procedure noodzakelijkerwijs stopt na een
eindig aantal van deze bewerkingen.

Dag 2

Vraag 1

$A$ en $B$ zijn twee opeenvolgende hoekpunten van een regelmatige veelhoek
met n zijden, $n > 5$, en middelpunt $O$. Een driehoek $XY Z$, die congru-
ent is met de driehoek $OAB$, wordt om te beginnen zo geplaatst dat de
hoekpunten X, Y en Z samenvallen met respectievelijk $ O, A $ en $B.$
De driehoek $XY Z$ verplaatst zich vervolgens in het vlak van de veelhoek zo,
dat de punten Y en Z op de zijden van de veelhoek blijven liggen en X
binnen de veelhoek blijft.
Welke figuur wordt door het punt X beschreven
wanneer Y de hele omtrek van de veelhoek doorloopt?

Vraag 3

In het gecoordinatiseerde vlak beschouwt men een eindige verzameling
roosterpunten $V$ . Is het mogelijk alle punten van V met $1$ van beide
kleuren, rood of wit, te kleuren zo, dat aan de volgende voorwaarde is
voldaan: voor elke rechte $D$ evenwijdig aan $1$ van de coordinaatassen is
de absolute waarde van het verschil tussen het aantal rode punten en het
aantal witte punten dat op $D$ ligt kleiner dan of gelijk aan $1.$