IMO 1973

Dag 1

Vraag 1

$O$ is een punt op een rechte $g$.
$\vec{OP_1} \cdots \vec{OP_n}$ zijn eenheidsvectoren,
gelegen in een vlak door g, allemaal aan dezelfde kant van g.
Bewijs: als $n$ oneven is, dan geldt
$| \vec{OP_1}+ \cdots +\vec{OP_n}| > 1 $

Dag 2

Vraag 1 Opgelost!

Een soldaat moet zich ervan overtuigen dat er binnen een gebied, dat de
vorm heeft van een gelijkzijdige driehoek, geen mijnen liggen.
De actieradius van zijn detector is gelijk aan de helft van de hoogte van de driehoek.
Hij begint in een hoekpunt. Welke weg moet hij kiezen opdat de afstand
die hij aflegt tot het moment dat het gebied geheel is gecontroleerd, zo
klein mogelijk is?

Vraag 3

Gegeven zijn de positieve reele getallen $a_1; a2; \cdots ; a_n$ en een reeel getal $q
0 < q < 1.$ Bepaal reele getallen $b_1; b_2; \cdots ; b_n$ zo, dat
(1) $a_k < b_k$ $\forall k \in \{ 1, 2, \cdots , n\}$
(2) $q < \frac{b_{k+1}}{b_k}< \frac{1}{q} \forall k \in \{ 1, 2, \cdots , n\}$
(3) $b_1 + b_2 + \cdots + b_n < \frac{1+q}{1-q} (a_1 + a_2 + \cdots + a_n)$