soldatenvraag uit Joegoslavië
Opgave - IMO 1973 dag 2 vraag 1
Een soldaat moet zich ervan overtuigen dat er binnen een gebied, dat de
vorm heeft van een gelijkzijdige driehoek, geen mijnen liggen.
De actieradius van zijn detector is gelijk aan de helft van de hoogte van de driehoek.
Hij begint in een hoekpunt. Welke weg moet hij kiezen opdat de afstand
die hij aflegt tot het moment dat het gebied geheel is gecontroleerd, zo
klein mogelijk is?
- login om te reageren
Oplossing
Zij $\Delta ABC$ die driehoek. Stel dat de soldaat begint in hoekpunt $A$. Zij $h$ de hoogte. Teken twee cirkels $\omega_1$ en $\omega_2$ met straal $\frac h2$ en middelpunten $B$ en $C$ resp. Merk op dat ze disjunct zijn, aangezien $|BC|>h$. Om nu hoekpunten $B$ en $C$ te kunnen controleren, moet hij op zowel $\omega_1$ als $\omega_2$ komen. Zij $P$ het eerste punt op de schijf $\omega_1$ dat hij bezoekt en zo ook $Q$ het eerste punt op $\omega_2$. Vanwege de symmetrie van de driehoek kunnen we WLOG zeggen dat hij eerst $P$ en dan $Q$ bezoekt.
Merk op dat de soldaat dan minstens de afstand $|AP|+|PQ|$ afgelegd geeft.
Verder is $|AP|+|PQ| \ge |AP|+|PC|- \frac h2$ wegens de driehoeksongelijkheid.
Stel nu $D$ het snijpunt van $\omega_1$ met de hoogtelijn uit $B$ dat in $\Delta ABC$ ligt.
Teken de ellips door $D$ met brandpunten in $A$ en $C$.
Voor elk punt $P$ op $\omega_1$ verschillend van $D$ geldt dat $|AP|+|PC| > |AD|+|DC|$.
Zij $E$ het snijpunt van $\omega_2$ met $CD$.
Bijgevolg heeft hij minstens de afstand $|AD|+|DE|$ afgelegd.
Een kleine berekening toont dat $|AD|+|DE|$ gelijk is aan
$(\frac{2 \cdot \sqrt{7}-\sqrt{3}}{4})z$, waar $z$ de zijde van de driehoek is.
Dit is de minimale afstand, want de weg bestaande uit het afleggen van $[AD]$ en $[DE]$ afleggen, voldoet.
Immers, $d(D, AC)=\frac h2$ en $|DB|=\frac h2$, dus voor elk punt op $|AB|$ en tussen $A$ en de loodrechte projectie van $D$ op $AC$ moet er een punt zijn op $|AD|$ dat op een afstand van hoogstens $\frac h2$ ligt. Analoog, maar dan voor punten op $|DE|$.
Q.E.D.