BxMO 2019

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Laat $a,b,c,d$ reële getallen zijn met $0\le a,b,c,d\le 1$. Bewijs dat
$$
ab(a-b)+bc(b-c)+cd(c-d)+da(d-a)\le \frac{8}{27}.
$$

Vind alle viertallen $(a,b,c,d)$ van re\"ele getallen met $0\le
a,b,c,d\le 1$ waarvoor gelijkheid geldt in bovenstaande ongelijkheid.

Vraag 2

Op een $2019 \times 2019$-schaakbord worden pionnen en torens gezet, met maximaal één stuk op elk van de $2019^2$ velden. Een toren staat in het zicht van een andere toren als ze in dezelfde rij of kolom staan en alle velden tussen hen leeg zijn. Wat is het grootste getal $p$ waarvoor $p$ pionnen en $p+2019$ torens op het schaakbord gezet kunnen worden zo dat geen twee torens in elkaars zicht staan?

Vraag 3

Twee cirkels $\Gamma_1$ en $\Gamma_2$ snijden in punten $A$ en $Z$ (met $A \neq Z$). Zij $B$ het middelpunt van $\Gamma_1$ en zij $C$ het middelpunt van $\Gamma_2$. De buitenbissectrice van $\angle BAC$ snijdt $\Gamma_1$ nogmaals in $X$ en $\Gamma_2$ nogmaals in $Y$. Bewijs dat de binnenbissectrice van $\angle BZC$ door het middelpunt van de omgeschreven cirkel van $\triangle XYZ$ gaat.

ter info;
Voor punten $P,Q,R$ op een lijn (rechte) $\ell$ in die volgorde en een punt $S$ niet op $\ell$ is de binnenbissectrice van $\angle PQS$ de lijn (rechte) die de hoek $\angle PQS$ in twee gelijke hoeken verdeelt, terwijl de buitenbissectrice van $\angle PQS$ de lijn (rechte) is die de hoek $\angle RQS$ in twee gelijke delen verdeelt.

Vraag 4 Opgelost!

Een geheel getal $m>1$ heet rijk als er voor elk geheel getal $n>0$ gehele getallen $x, y, z > 0$ bestaan zodat $n = mx^2-y^2-z^2$. Een geheel getal $m>1$ is arm als hij niet rijk is.

Vind een arm getal.
Vind een rijk getal.