(2/3)^3

We starten met het herschrijven van het linkerlid van de gegeven uitdrukking:
$ab(a-b)+bc(b-c)+cd(c-d)+da(d-a)$
$=a^2b-b^2a+b^2c-c^2b+c^2d-d^2c+d^2a-a^2d$
$=a^2(b-d)+b^2(c-a)+c^2(d-b)+d^2(a-c)$
$=(a-c)(d^2-b^2)+(b-d)(a^2-c^2)$
$=(a-c)(b-d)(d+b)+(b-d)(a-c)(a+c)$
$=(a-c)(b-d)(a+c-b-d)$

We moeten dus nog bewijzen dat:
$(a-c)(b-d)(a+c-b-d) \leq \frac 8 {27}$
$\iff \sqrt [3] {(a-c)(b-d)(a+c-b-d)} \leq \frac 2 3$
Nu maken we gevalsonderscheid. Hierbij gaan we er zonder verlies van algemeenheid vanuit dat $a=max(a,b,c,d)$.
Als het geheel negatief is, zal de gevraagde ongelijkheid zeker gelden. Als het geheel echter positief is, zijn ofwel $0$, ofwel $2$ factoren negatief:

Geval $1$) Veronderstel dat alle factoren positief zijn. Dan mogen we $AM-GM$ toepassen, en dan geeft dat:
$ \sqrt [3] {(a-c)(b-d)(a+c-b-d)} \leq \frac {(a-c)+(b-d)+(a+c-b-d)} {3}$
$\Longrightarrow \sqrt [3] {(a-c)(b-d)(a+c-b-d)} \leq \frac 2 3 (a-d)$
$\Longrightarrow \sqrt [3] {(a-c)(b-d)(a+c-b-d)} \leq \frac 2 3$ (omdat $0 \leq a,d \leq 1$),
zoals gevraagd.
Geval $2$) Veronderstel dat er juist $1$ factor positief is. Aangezien $a=max(a,b,c,d)$, zullen $b-d<0$ en $a+c-b-d<0$. $AM-GM$ geeft dan:
$\sqrt [3] {(a-c)(b-d)(a+c-b-d)}=\sqrt [3] {(a-c)|b-d||a+c-b-d|} \leq \frac {(a-c)+|b-d|+|a+c-b-d|} {3}$
$\Longrightarrow \sqrt [3] {(a-c)(b-d)(a+c-b-d)} \leq \frac {a-c-b+d-a-c+b+d} {3}$
$\Longrightarrow \sqrt [3] {(a-c)(b-d)(a+c-b-d)} \leq \frac 2 3 (d-c)$
$\Longrightarrow \sqrt [3] {(a-c)(b-d)(a+c-b-d)} \leq \frac 2 3$ (omdat $0 \leq c,d \leq 1$),
zoals gevraagd.

Nu zullen we de gelijkheidsvoorwaarde afleiden.
In Geval $1$) moet gelden:
$a-c=b-d=a+c-b-d \wedge a-d=1 \Longrightarrow a=1, d=0$
Substitutie in de eerste vergelijking en uitwerken van het stelsel geeft dat $ b=\frac 2 3, c=\frac 1 3$
Zo bekomen we het viertal $(1, 2/3, 1/3, 0)$, wat inderdaad een oplossing is.

In Geval $2$) moet $a-c=\frac 23$ en $d-c=1$, terwijl $a \ge d$, wat niet kan.

Waneer $a \neq max(a,b,c,d)$, verkrijgen we ook alle andere cyclische permutaties zodat alle viertallen $(a,b,c,d)$, waarvoor gelijkheid geldt, de volgende zijn:
$(1,2/3,1/3,0)$, $(0,1,2/3,1/3)$, $(1/3,0,1,2/3)$, $(2/3,1/3,0,1)$.