BxMO 2018

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Bepaal de kleinste waarde van

$$\left(x+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{y}-2018\right)+\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{x}-2018\right),$$
waarbij $x$ en $y$ variëren over de (strikt) positieve reële getallen.

Bepaal de kleinste waarde van
$$\left(x+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{y}+2018\right)+\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{x}+2018\right),$$
waarbij $x$ en $y$ variëren over de (strikt) positieve reële getallen.

Vraag 2 Opgelost!

In het land Heptanomisma worden vier verschillende munten en drie verschillende bankbiljetten gebruikt; hun waardes zijn zeven verschillende (strikt) positieve gehele getallen.
De waarde van het kleinste bankbiljet is (strikt) groter dan de som van de waardes van de vier verschillende munten.
Een toerist in het bezit van precies één munt van elke waarde en precies één bankbiljet van elke waarde kan het boek over numismatologie dat hij wil kopen, niet betalen.
De wiskundig georiënteerde boekhandelaar vertelt de toerist echter dat hij het boek mag kopen voor een prijs naar keuze, mits hij deze prijs op meerdere manieren kan betalen.
(De toerist kan een prijs op meerdere manieren betalen als er twee verschillende deelverzamelingen van zijn munten en bankbiljetten zijn die elk evenveel waard zijn als deze prijs.)
Bewijs dat de toerist het boek kan kopen als de waarde van elk bankbiljet (strikt) kleiner dan $49$ is.

Bewijs dat het zou kunnen dat de toerist met lege handen de boekwinkel moet verlaten als de waarde van het grootste bankbiljet $49$ is.

Vraag 3 Opgelost!

Zij $ABC$ een driehoek met hoogtepunt $H$. Laat $D$, $E$ en $F$ de middens van respectievelijk lijnstukken $AB$, $AC$ en $AH$ zijn. De beelden van $B$ en $C$ onder puntspiegeling in $F$ zijn respectievelijk $P$ en $Q$.

Bewijs dat de lijnen (rechten) $PE$ en $QD$ elkaar snijden op de omgeschreven cirkel van driehoek $ABC$.
Bewijs dat de lijnen (rechten) $PD$ en $QE$ elkaar snijden op lijnstuk $AH$.

Vraag 4 Opgelost!

Een geheel getal $n\geq 2$ met precies $s$ positieve delers $1=d_1$<$d_2$<$\cdots$<$d_s=n$ noemen we goed als er een geheel getal $k$ met $2\leq k\leq s$ bestaat zodanig dat $d_k$>$1+d_1+\cdots+d_{k-1}$. Een geheel getal $n\geq 2$ dat niet goed is, noemen we slecht.
Bewijs dat er oneindig veel slechte gehele getallen zijn.
Bewijs dat van elk zevental opeenvolgende gehele getallen die elk (strikt) groter zijn dan 2, er ten minste vier getallen goed zijn.
Bewijs dat er oneindig veel rijtjes van zeven opeenvolgende goede gehele getallen zijn.