Ongelijkheid tussen Luxemburg en Frankrijk

a) Stel $a=x+\frac{1}{y}$ en $b=y+\frac{1}{x}$.
Dan is de uitdrukking gelijk aan $$a(a-2018)+b(b-2018)$$ wat minstens gelijk is aan $-2*1009^2$ omdat $a^2-2018a \ge 1009^2 \Leftrightarrow (a-1009)^2 \ge 0$ en analoog voor $b$.

Er bestaan ook echt $x,y\in\mathbb{R}^+_0$ waarvoor $a=b=1009$.
Neem gewoon $x=y$ een positieve oplossing van $x+\frac{1}{x}=1009$, bijvoorbeeld $x=\frac{1009+\sqrt{1009^2-4}}{2}$.

Bijgevolg is de kleinste waarde $-2\cdot 1009^2.$

b) Aangezien $a^2+b^2\ge 2ab$, is $2a^2+2b^2\ge a^2+b^2+2ab\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{(a+b)^2}{2}$. Dus $$a(a+2018)+b(b+2018)=a^2+b^2+2018(a+b)\ge\frac{(a+b)^2}{2}+2018(a+b)\>\>\>\>\>\>\>\>\>\>\>(1)$$
met gelijkheid als en slechts als $a=b$.
Merk op dat $f(x)=\frac{x^2}{2}+2018x$ een stijgende functie is en
$a+b=x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \ge 4$ wegens AM-GM.
De kleinst mogelijke waarde is dus $$\frac {4^2}2+2018\cdot
4=8080.$$
Deze waarde wordt ook wel degelijk bereikt, namelijk wanneer $x=y=1$.