perfecte vraag met blijvende abundantie

Opgave - BxMO 2018 dag 1 vraag 4

Een geheel getal $n\geq 2$ met precies $s$ positieve delers $1=d_1$<$d_2$<$\cdots$<$d_s=n$ noemen we goed als er een geheel getal $k$ met $2\leq k\leq s$ bestaat zodanig dat $d_k$>$1+d_1+\cdots+d_{k-1}$. Een geheel getal $n\geq 2$ dat niet goed is, noemen we slecht.
Bewijs dat er oneindig veel slechte gehele getallen zijn.
Bewijs dat van elk zevental opeenvolgende gehele getallen die elk (strikt) groter zijn dan 2, er ten minste vier getallen goed zijn.
Bewijs dat er oneindig veel rijtjes van zeven opeenvolgende goede gehele getallen zijn.

Oplossing

    1. Alle getallen van de vorm $2^n$ (met $n\in\mathbb{N}_0$) zijn slecht.

Alle delers van $2^n$ worden gegeven door $d_i=2^{i-1}$.
Nu geldt voor elke $k$ met $2\le k\le n+1$ dat $$1+d_1+\cdots+d_{k-1}=1+2^0+\cdots+2^{k-2}=1+(2^{k-1}-1)=d_k$$

[=2]
2. Alle oneven getallen zijn goed.
[/]
Voor alle oneven getallen geldt dat $$d_2\ge3\gt2=1+1=1+d_1$$

[=3]
3. Alle even getallen $n\gt2$ die niet deelbaar zijn door $3$ of $4$ zijn goed.
[/]
Voor deze getallen geldt dat $$d_3\ge5\gt4=1+1+2=1+d_1+d_2$$

[=4]
4. Alle getallen van de vorm $12p$ met $p\ge31$ een priemgetal zijn goed.
[/]
Voor al deze getallen geldt dat $$d_7=p\ge31\gt29=1+1+2+3+4+6+12$$

a) Uit $(1)$ volgt meteen dat er oneindig veel slechte getallen zijn

b) Schrijf dit zevental als $(a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3)$.

Indien $a$ even is, zijn $a-3$, $a-1$, $a+1$ en $a+3$ oneven en dus goed.

Indien $a$ oneven is, zijn $a-2$, $a$ en $a+2$ oneven en dus goed.
Uit de verzameling even getallen ${a-3,a-1,a+1,a+3}$ zijn er 2 niet deelbaar door 4. Van deze 2 (zeg $b$ en $b+4$) is er maximum 1 deelbaar door 3. Het andere getal is niet deelbaar door 4 of door 3, en dus goed

c)
Neem $a=12p$ met $p\ge31$ een priemgetal. Dan is $a$ goed.
$a-3$,$a-1$,$a+1$ en $a+3$ zijn oneven en dus goed.
$a-2$ en $a+2$ zijn even en niet deelbaar door $4$ of door $3$. Zij zijn dus ook goed.
Bijgevolg bestaan er oneindig veel rijtjes van zeven opeenvolgende goede gehele getallen.