vragen staan niet in volgorde van moeilijkheid....
Opgave - BxMO 2018 dag 1 vraag 3
Zij $ABC$ een driehoek met hoogtepunt $H$. Laat $D$, $E$ en $F$ de middens van respectievelijk lijnstukken $AB$, $AC$ en $AH$ zijn. De beelden van $B$ en $C$ onder puntspiegeling in $F$ zijn respectievelijk $P$ en $Q$.
Bewijs dat de lijnen (rechten) $PE$ en $QD$ elkaar snijden op de omgeschreven cirkel van driehoek $ABC$.
Bewijs dat de lijnen (rechten) $PD$ en $QE$ elkaar snijden op lijnstuk $AH$.
- login om te reageren
Oplossing
a) Aangezien $AP=s_F(HB)$, $AQ=s_F(HC)$ en $PQ=s_F(BC)$, is:
Noem nu $R$ het snijpunt van $QD$ en $PE$. Dan is, aangezien $[DE]$ een middenparallel is van $\Delta ABC$, $|DE|=\frac{|BC|}{2}=\frac{|PQ|}{2}$. Bovendien is $DE//BC//QP$.
Daaruit volgt dat er een homothetie $h$ bestaat met centrum $R$ en factor $2$, zodat $h(D)=Q$ en $h(E)=P$. Bijgevolg is $D$ het midden van $[QR]$ en is $E$ het midden van $[PR]$.
Aangezien $D$ ook het midden is van $[AB]$ en $E$ van $[AC]$, volgt door het diagonalenkenmerk dat $AQBR$ en $APCR$ parallellogrammen zijn.
Daaruit volgt dat $BR//AQ//HC$ en $CR//AP//HB$, waardoor ook $BRCH$ een parallellogram is.
Bijgevolg is (opnieuw door het diagonalenkenmerk) $R$ de reflectie van $H$ om het midden van $[BC]$, waaruit volgt dat $R$ op $(ABC)$ ligt.
b) Noem $S$ het snijpunt van $QE$ en $PD$.
Aangezien $DE//PQ$ en $|DE|=\frac{|PQ|}{2}$, bestaat er een homothetie met centrum $S$ en factor $-2$ die $D$ afbeeldt op $P$ en $E$ op $Q$.
Neem nu een cartesiaans assenstelsel met oorsprong $A$ en y-as $AH$.
Dan geldt (door een homothetie met factor 2 en centrum $A$) dat $x_B=2x_D$. Aangezien $P$ de spiegeling is van $B$ rond $F$ (op de y-as), is $x_P=-x_B=-2x_D$.
Nu beeldt de homothetie met centrum $S$ en factor $-2$ $D$ af op een punt met x-coördinaat $$x_P=x_S-2(x_D-x_S)=3x_S-2x_D$$
Daaruit volgt dat $x_S=0$, en dus dat $S$ op $AH$ ligt.