BxMO 2015

Vraag 1 Opgelost!

Bepaal het kleinste gehele getal $q$ >$1$ met de volgende eigenschap:
voor elk geheel getal $m$ met $1 \le m \le 1006$, bestaat er een geheel getal $n$ waarvoor geldt dat $\frac{m}{1007}q < n < \frac{m+1}{1008}q$.

Vraag 2 Opgelost!

Zij ABC een scherphoekige driehoek met O het middelpunt van de omgeschreven cirkel. Zij $\Gamma_B$ de cirkel door A en B die raakt aan AC. Zij $\Gamma_C$ de cirkel door A en C die raakt aan AB. Een willekeurige lijn door A snijdt $\Gamma_B$ een tweede keer in X en snijdt $\Gamma_C$ een tweede keer in Y. Toon aan dat $|OX|=|OY|$.

Vraag 3 Opgelost!

Bestaat er een priemgetal waarvan de decimale voorstelling van de vorm $3811\ldots11$ is (met aantal digits van het getal $>2$)?

Vraag 4 Opgelost!

Een rekenkundige rij is een verzameling van de vorm $\{a,a+d,\ldots,a+kd\}$, waarbij $a,d,k$ gehele getallen zijn met $a$ $\ge $$1$, $d$ $\ge $ $1$ en $k$ $\ge $ $2$. Een rekenkundige rij heeft dus minstens drie elementen en de opeenvolgende elementen hebben verschil d, dat we de stapgrootte van de rekenkundige rij noemen.

Zij $n$>$1$ een geheel getal. Voor elke partitie (opdeling) van de verzameling $\{1,2,\ldots,3n\}$ in rekenkundige rijen, bekijken we de som $S$ van de respectievelijke stapgroottes van deze rekenkundige rijen. Wat is de maximale waarde die S kan bereiken? (Een partitie van een verzameling A is een collectie disjuncte deelverzamelingen van A waarvan de vereniging (unie) A is.)