geen gekend getal gefactoriseerd?

We onderscheiden drie gevallen op basis van het aantal enen na $38$, waarbij $k$ het aantal enen is:

(1) $k=3l+1$

(2) $k=3l+2$

(3) $k =3l$

geval (1)
Aangezien $3 \mid 3+8+k=3+9+3l$, zal het getal deelbaar zijn door $3$ en omdat het getal groter is dan 3, is het dus niet priem.

geval (2)
Aangezien $37 \mid 3811$ en $37 \mid 111$, zal $37 \mid 3811*10^{3l} +111 ... 111$, waarbij op het einde er een veelvoud van 3 enen is. Omdat het getal groter is dan 37 en een veelvoud van $37$, is het niet priem in dit geval.

geval (3)
Het getal is nu $ 38*10^{3l}+10^{3l-1}+10^{3l-2}+...+10+1$. Dit kan je schrijven als $38*10^{3l}+\frac {10^{3l}-1} {9}=\frac {9*38*10^{3l}+10^{3l}-1}{9}=\frac {10^{3l}(9*38+1)-1}{9}=\frac {343 \cdot 10^{3l}-1}{9}=\frac {(7*10^{l})^{3}-1}{9}$
$=\frac {(7*10^{l}-1)}{3} \cdot \frac {(49*10^{2l}+7*10^{l}+1)}{3}$. Aangezien beide factoren geheel en groter dan $1$ zijn (want $l\ge 1$), kan het getal nooit priem zijn in dit geval.

Conclusie: het is onmogelijk dat een getal van deze vorm priem is.