2500e probleem op Olympia

Opgave - BxMO 2015 vraag 2

Zij ABC een scherphoekige driehoek met O het middelpunt van de omgeschreven cirkel. Zij $\Gamma_B$ de cirkel door A en B die raakt aan AC. Zij $\Gamma_C$ de cirkel door A en C die raakt aan AB. Een willekeurige lijn door A snijdt $\Gamma_B$ een tweede keer in X en snijdt $\Gamma_C$ een tweede keer in Y. Toon aan dat $|OX|=|OY|$.

Oplossing

We bewijzen eerst volgend lemma (let op, hierin zijn de notaties onafhankelijk van de opgave gekozen!):

Lemma: Stel $\omega_1$ en $\omega_2$ twee cirkels met middelpunten $O_1$ en $O_2$ resp. die snijden in $A$ en $B$. Stel $M$ het midden van $[O_1 O_2]$ en stel $A'$ het spiegelbeeld van $A$ bij spiegeling rond $M$. Stel dat een rechte door $A$, $\omega_1$ en $\omega_2$ resp. snijdt in $X$ en $Y$. Dan is $|A'X|=|A'Y|$.

Bewijs: We behandelen het geval waar $O_1$ en $O_2$ aan dezelfde kant liggen tov $XY$. De andere verlopen analoog. Allereerst merken we op dat $AO_2A'O_1$ een parallellogram is (1), want hun diagonalen snijden elkaar middendoor. Merk nu op dat geldt dat
$\widehat{AO_1X}+\widehat{AO_1A'}+\widehat{AO_2A'}+\widehat{AO_2Y}=$
$180°-2 \widehat{XAO_1}+180°-\widehat{O_1AO_2}+180°-2 \widehat{YAO_2}+180°-\widehat{O_1 AO_2}=360°$ (2)
Dit wegens (1).

Uit (2) volgt tevens dat exact één van $O_1$ en $O_2$ binnen $XYA'$ ligt of zowel $O_1$ als $O_2$ liggen op een zijde van de driehoek $XYA'$ (3)
Dit omdat $\angle XO_1A' + \angle AO_2Y= 360^{\circ}$ voor de binnenhoeken van de vijfhoek $XO_1A'O_2Y.$

Merk op dat uit (2) en (3) volgt dat $\widehat{XO_1A'}=\widehat{A'O_2Y}$ (voor een binnen- en buitenhoek van de vijfhoek). We hebben ook dat $|XO_1|=|O_1 A|=|A'O_2|$ en $|O_1A'|=|AO_2|=|YO_2|$ wegens (1). Dus $\Delta XO_1 A' \cong \Delta A'O_2 Y$, dus $|XA'|=|YA'|$, zoals gewenst. Daarmee is het lemma bewezen.

Laat nu $O_B$ en $O_C$ resp. de middelpunten van $\Gamma_B$ en $\Gamma_C$ zijn. Dan is $O_C O \parallel AO_B$ omdat $OO_C \perp AC$ (het is de middelloodlijn) en $AO_B \perp AC$ (het is de raaklijn aan de cirkel in $A$). Analoog is $O_C A \parallel OO_B$. Dus $AO_BOO_C$ is een parallellogram, waaruit volgt dat $O$ het spiegelbeeld van $A$ rond het midden van $[O_BO_C]$ is, zodat het lemma geldt en $|OX|=|OY|$. Q.E.D.