1007+1008
Opgave - BxMO 2015 vraag 1
Bepaal het kleinste gehele getal $q$ >$1$ met de volgende eigenschap:
voor elk geheel getal $m$ met $1 \le m \le 1006$, bestaat er een geheel getal $n$ waarvoor geldt dat $\frac{m}{1007}q < n < \frac{m+1}{1008}q$.
- login om te reageren
Oplossing
De oplossing is $q=2015$.
(1) $q \ge 2015$. We hebben dat het ook moet gelden voor $m=1006$, wat betekent dat er een geheel getal $n$ moet zijn waarvoor $\frac{1006}{1007}q$<$n$<$\frac{1007}{1008}q$. Stel $k=q-n$; wat elementaire omvormingen geven al snel dat $1006k $<$n $<$1007k$ (waaruit ook volgt dat $k$>$0$). Merk op dat $k=1$ hier geen oplossingen voor $n$ biedt; dit betekent dat $k \ge 2$. Nu geldt dat dat $q =n+k\ge 1006*k+1+k \ge 1006*2+1+2=2015$, wat het gevraagde bewijst.
(2) Voor $q=2015$ bestaat er altijd zo'n $m$. Inderdaad, er geldt dat $\frac{m}{1007}*2015<2m+1$ en $2m+1<\frac{m+1}{1008} *2015$ omdat $m$<$1007$. Q.E.D.