BxMO 2014

Vraag 1 Opgelost!

Bepaal de kleinst mogelijke waarde van de uitdrukking 
$[ \frac{a + b + c}{d} ] + [ \frac{b + c + d}{a} ]$$ + [ \frac{c + d + a}{b} ] + [ \frac{d + a + b}{c} ]$ , waarbij $a$, $b$, $c$ en $d$ variëren over de verzameling (strikt) positieve gehele getallen. (Hier staat $[x]$ voor het grootste gehele getal kleiner dan of gelijk aan $x$.)
***
Opmerking: kan je generaliseren voor meer variabelen?

Vraag 2 Opgelost!

Zij $k \geq 1$ een geheel getal. We beschouwen $4k$ fiches, waarvan er $2k$ rood zijn en $2k$ blauw. We kunnen een rijtje van deze $4k$ fiches veranderen in een ander rijtje door een zogenaamde zet, die bestaat uit het omwisselen van een aantal (mogelijk één) opeenvolgende rode fiches met een gelijk aantal opeenvolgende blauwe fiches. We kunnen bijvoorbeeld in één zet het rijtje $rbbbrrrb$ veranderen in $rrrbrbbb$, waarbij $r$ staat voor een rood fiche en $b$ voor een blauw fiche.

Bepaal het kleinste getal $n$ (als functie van $k$) zodanig dat, ongeacht met welk rijtje van deze $4k$ fiches we beginnen, we ten hoogste $n$ zetten nodig hebben om het rijtje te bereiken waarvan de eerste $2k$ fiches allemaal rood zijn.

Vraag 3 Opgelost!

Bepaal alle gehele getallen $n \geq 2$ met de volgende eigenschap: voor elk tweetal positieve delers $k,l < n$ van $n$ is op zijn minst één van de getallen $2k - l$ en $2l - k$ ook een (niet noodzakelijk positieve) deler van $n$.

Vraag 4 Opgelost!

Zij gegeven een vierkant $ABCD$. Beschouw een variabel punt $P$ in dit vierkant waarvoor $\widehat{BAP} \geq 60$◦. Zij $Q$ het snijpunt van lijn $AD$ en de loodlijn op $BP$ door $P$. Zij $R$ het snijpunt van lijn $BQ$ en de loodlijn op $BP$ door $C$.

$(a)$ Bewijs dat $|BP|\geq|BR|$.
$(b)$ Voor welk(e) punt(en) $P$ geldt er in de ongelijkheid van $(a)$ gelijkheid?