delers

Laten we de grootste deler van $n$ die kleiner is dan $n$ $d$ noemen. $p$ noemen we de kleinste deler groter dan $1$ van $n$. Er geldt dat $p$ de kleinste priemfactor van $n$ is en dat $d p=n$.

Door $(k,l)=(d,1)$ te kiezen zien we dat ofwel $2-d$ deler is van $n$ ofwel $2d-1$ deler is van $n$.

Stel dat $2d-1$ deler is van $n$. Dan moet, aangezien $d$ de grootste deler is van $n$ niet gelijk aan $n$, gelden dat $2d -1 \leq d \Leftrightarrow d \leq 1$, ofwel $n=2d-1$. In het laatste geval moet $d \mid 2d-1$, maar dit kan enkel als $d=1$, want $ggd(d,2d-1)=1$. Dus $d=1$, dus $n=p$, en $n$ is een priemgetal. Alle priemgetallen voldoen ook, aangezien de enige mogelijkheid voor $k$ en $l$ $(k,l)=(1,1)$ is, en $2l-k=1 \mid n$. In wat volgt zullen we er dus van uitgaan dat $n$ samengesteld is, ofwel $d > 1$.

Stel dat $2-d$ deler is van $n$. Dan is ook $d-2$ deler van $n$. We maken een gevalsonderscheid:

Geval 1: stel $d$ is oneven.

Nu geldt dat $ggd(d,d-2)=1$. Dus $d(d-2) \mid n$, ofwel $n=k d (d-2)$ voor een bepaald geheel getal $k$, dus $(d-2)k=p$. Aangezien $d > 1$, wilt dit zeggen dat $d-2=1$ en $k=p$, of dat $d-2=p$ en $k=1$. We maken terug een gevalsonderscheid:

Geval 1.1 Stel $d-2=1$.

Er geldt dat $d=3$, dus $n=3p$, met $1 < p \leq 3$. We vinden dat $n=6$ of $n=9$. Deze twee getallen werken ook (makkelijk zelf te controleren).

Geval 1.2 Stel $k=1$.

Er geldt dat $n=p(p+2)$. Aangezien $p$ de kleinste priemfactor is, is $p+2$ ook een priemgetal. Maar door $(k,l)=(1,p)$ te nemen vinden we dat $p-2$ of $2p-1$ ook delers zijn.

Ga uit van het laatste; aangezien $ggd(2p-1,p)=1$ moet dan gelden dat $2p-1 \mid p+2$, wat enkel kan als $2p-1 \leq p+2$, ofwel $p \leq 3$. Omdat $p$ een oneven priemgetal is, impliceert dit dat $p=3$ en $n=15$. Het is makkelijk te controleren dat $n=15$ ook voldoet.

Veronderstel nu dat $p-2 \mid p(p+2)$. Omdat $p$ oneven is, is $ggd(p-2,p)=1$ en tevens ook $ggd(p-2,p+2)=ggd(p-2,4)=1$, dus moet $p-2=1$, ofwel $p=3$, dus we krijgen hetzelfde scenario als het vorige.

Geval 2: Stel $d$ is even.

Dan moet sowieso gelden dat $p=2$, dus $n=2 d$. Er geldt dus dat $d-2 \mid 2d$. Maar $ggd(2d,d-2)=ggd(4,d-2)=d-2 \mid 4$, dus $d=4$ of $d=6$,i.e. $n=8$ of $n=12$. $n=8$ voldoet echter niet aangezien $(k,l)=(2,4)$ niet voldoet. $n=12$ Voldoet ook niet want $(k,l)=(6,3)$ voldoet niet.

Hieruit volgt dat alle getallen die voldoen de priemgetallen, $6$, $9$ en $15$ zijn. Q.E.D.