Minimum

Merk op dat $\forall x \in \mathbb R$ geldt dat $ x-1< \lfloor x \rfloor \le x$ en dus $\lfloor x \rfloor+1>x$.

Bijgevolg geldt dat $\left \lfloor \frac {a+b+c}{d} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{b+c+d}{a} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{c+d+a}{b} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{d+a+b}{c} \right \rfloor+4 > \frac{a+b+c}{d}+\frac{b+c+d}{a}+\frac{c+d+a}{b}+\frac{d+a+b}{c}$.
We zullen eerst de minimale waarde van het RL bepalen.

Wegens AM-GM geldt dat $\frac{a+b+c}{d}+\frac{b+c+d}{a}+\frac{c+d+a}{b}+\frac{d+a+b}{c} = \frac ad + \frac bd + \frac cd + \frac ba + \frac ca + \frac da + \frac cb + \frac db + \frac ab + \frac dc + \frac ac + \frac bc \geq 12$, met gelijkheid als en slechts als $a=b=c=d$.

Er geldt dus dat $\left \lfloor \frac {a+b+c}{d} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{b+c+d}{a} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{c+d+a}{b} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{d+a+b}{c} \right \rfloor+4 >12 $
$\Leftrightarrow \left \lfloor \frac {a+b+c}{d} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{b+c+d}{a} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{c+d+a}{b} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{d+a+b}{c} \right \rfloor>8$.
Omdat de waarde geheel is, geldt dat $ \left \lfloor \frac {a+b+c}{d} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{b+c+d}{a} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{c+d+a}{b} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{d+a+b}{c} \right \rfloor \geq 9$.
Gelijkheid geldt voor bvb. $a=7,b=7,c=7,d=6$.

Wat de generalisatie voor meer variabelen betreft: door gebruik te maken van de bovenstaande methode, kun je bewijzen dat voor $n$ variabelen het minimum van bovenstaande functie overeenkomt met $n^{2}-2n+1$.
Gelijkheid geldt voor bvb. $n-1$ waarden gelijk aan $n+1$ en één waarde gelijk aan $n$.