Home › Archief › Internationale Olympiades › BxMO › 2014 › Ongelijkheid in een vierkant

Ongelijkheid in een vierkant

Tags:

Opgave - BxMO 2014 vraag 4

Zij gegeven een vierkant $ABCD$. Beschouw een variabel punt $P$ in dit vierkant waarvoor $\widehat{BAP} \geq 60$◦. Zij $Q$ het snijpunt van lijn $AD$ en de loodlijn op $BP$ door $P$. Zij $R$ het snijpunt van lijn $BQ$ en de loodlijn op $BP$ door $C$.

$(a)$ Bewijs dat $|BP|\geq|BR|$.
$(b)$ Voor welk(e) punt(en) $P$ geldt er in de ongelijkheid van $(a)$ gelijkheid?

Oplossing

Ingediend door Tijs B.

(a) Merk op dat $ABPQ$ een koordenvierhoek is omdat $\widehat{BAQ}=\widehat{BPQ}=90°$. Verder is ook $RC \parallel PQ$ ($RC \perp BP$ en $PQ \perp BC$), dus geldt dat:

(1) $\widehat{BAP}=\widehat{BQP}=\widehat{BRC}$

(2) $\widehat{BCR}=90°-\widehat{CBP}=\widehat{PBA}$

Uit (1) en (2) volgt dat $\Delta APB \sim \Delta BRC$, waaruit volgt dat $\frac{|BR|}{|BC|}=\frac{|PA|}{|PB|}$, dus:

$|BR|*|BP|=|PA|*|BC|=|PA|*|AB| \le |AB|^2+|PA|^2-|AB| |PA| $
$\le |AB|^2+|PA|^2-2 \cos (\widehat {BAP}) |BA| |AP|=|PB|^2$

($ABCD$ is een vierkant, AM-GM, $\widehat{BAP}\ge 60°$, cosinusregel), waaruit volgt dat $|BP| \ge |BR|$, zoals gewenst. Q.E.D.

(b) Er geldt gelijkheid asa in alle ongelijkheden van (a) gelijkheid geldt, wat betekent dat $|PA|=|AB|$ en $\widehat{BAP}=60°$, ofwel $P$ is het derde hoekpunt van de gelijkzijdige driehoek op zijde $AB$ binnen vierkant $ABCD$. Q.E.D.