BxMO 2013

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Zij $n\ge3$ een geheel getal.
Een kikker beweegt al springend over de getallenlijn (getallenas).
Hij start in het punt $0$ en maakt $n$ sprongen: een van lengte $1$, een van lengte
$2,\cdots$ en een van lengte $n$.
Hij mag deze $n$ sprongen in willekeurige volgorde uitvoeren.
Als de kikker op een gegeven moment op een getal $a \le 0 $ zit, dan moet zijn volgende sprong naar rechts gaan (richting de positieve getallen).
Als de kikker op een gegeven moment op een getal $a$ > $0$ zit, dan moet zijn volgende sprong naar links gaan (richting de negatieve getallen).
Bepaal het grootste positieve gehele getal k zodanig dat de kikker zijn sprong
in zo'n volgorde kan uitvoeren dat hij nooit landt op een van de getallen $1, 2,\cdots , k.$

Vraag 2 Opgelost!

Bepaal alle functies f:$ R \to R$ zodanig dat
$f(x + y) + y \le f(f(f(x)))$
geldt voor alle $x,y \in \mathbb R$.

Vraag 3 Opgelost!

Zij $ABC$ een driehoek met omgeschreven cirkel $\Omega$, en zij $I$ het middelpunt
van de ingeschreven cirkel van $ABC$. De lijnen $AI, BI$ en $CI$ snijden $\Omega$ in $D \not= A,
E \not= B$ en $F \not= C.$ De raaklijnen aan $\Omega$ in $F, D$ en $E$ snijden de lijnen $AI, BI$ en $CI$ in
respectievelijk $R, S$ en $T$. Bewijs dat
$|AR||BS||CT|= |ID||IE||IF|$

Vraag 4 Opgelost!

Bepaal alle gehele getallen $g $> $0$ met de volgende eigenschap: voor elk oneven
priemgetal $p$ is er een geheel getal $n$ > $0$ zodat $p$ een deler is van de twee gehele
getallen
$g^n-n$ en $g^{n+1} - (n + 1)$
b) Bepaal alle gehele getallen $g $> $0$ met de volgende eigenschap: voor elk oneven
priemgetal $p$ is er een geheel getal $n$ > $0$ zodat $p$ een deler is van de twee gehele
getallen $g^n-n^2$ en $g^{n+1} - (n + 1)^2$