dank u Fermat

a)
Stel $q$ is een oneven priemgetal en $q|g$. Dan kan $q$ nooit een deler zijn van beide getallen. Stel dat $g\equiv1\pmod q$, dan kan het ook nooit.
De enige $g$ die kan voldoen is dus $g=2$ omdat die als enige niet van de vorm $kq$ of $kq+1$ is.
Voor $g=2$ hebben we dat $n=(p-1)^2$ voldoet omdat $2^{(p-1)^2}-(p-1)^2=(2^{p-1})^{p-1}-(p-1)^2\equiv1-1=0$ (Fermat) en $2^{(p-1)^2+1}-(p-1)^2-1=2*(2^{p-1})^{p-1}-(p-1)^2-1\equiv2*1-1-1=0$ (Opnieuw Fermat)
Dus $g=2$ voldoet en is de enige.

b)
Stel $q$ is een oneven priemgetal en $q|g$. Dan moet $q|n$ maar dan kan $q|n+1$ niet. Dus $g=2^k$.
Stel $g\equiv1 \pmod q$ dan is $n^2\equiv1$ en $(n+1)^2=n^2+2n+1\equiv1$ dus $n(n+2)\equiv0$. Wegens $n^2\equiv1$ kan dat alleen als $n\equiv-2$, dus $(-2)^2\equiv1 \pmod q$ , dus $q|3$, dus $q=3$.
Bijgevolg is $g=3^m+1$.
$2^k=3^m+1$. Stel $m>0$. Modulo $3$ blijkt dat $k=2l$ even is. Dus $4^l-1=3^m$, $(2^l-1)(2^l+1)=3^m$. beide factoren zijn machten van 3 en verschillen maar 2, dus $2^l-1=1$ en $2^l+1=3$, dus $l=1$, $k=2$.
Voor het geval $m=0$ hebben we $k=1$ die voldoet.
Dus $g=2$ of $g=4$ moeten we nog controleren.
Voor $g=4$ kunnen we $4^n-n^2$ ontbinden als verschil van kwadraten en opnieuw $n=(p-1)^2$ nemen telkens, zo ook voor $4^{n+1}-(n+1)^2$.
Stel $g=2$.
Voor $p=3$ moet dan $n^2\equiv(-1)^n$ en $(n+1)^2\equiv(-1)^{n+1}$.
Beide congruenties opgeteld levert $2n^2+2n+1\equiv0$. Maar voor $n\equiv0,1,2\pmod3$ hebben we telkens $2n^2+2n+1\equiv1$ of $\equiv2$. Bijgevolg is $g=2$ onmogelijk.
$g=4$ is dus de enige oplossing.