there is always geometry at the BxMO

Opgave - BxMO 2013 dag 1 vraag 3

Zij $ABC$ een driehoek met omgeschreven cirkel $\Omega$, en zij $I$ het middelpunt
van de ingeschreven cirkel van $ABC$. De lijnen $AI, BI$ en $CI$ snijden $\Omega$ in $D \not= A,
E \not= B$ en $F \not= C.$ De raaklijnen aan $\Omega$ in $F, D$ en $E$ snijden de lijnen $AI, BI$ en $CI$ in
respectievelijk $R, S$ en $T$. Bewijs dat
$|AR||BS||CT|= |ID||IE||IF|$

Oplossing

Wegens het bekende lemma ligt $D$ op de middelloodlijn van $[BC]$, dus de raaklijn $DS$ in $D$ is evenwijdig met $BC$. Bovendien is $|BD|=|ID|$, $|CE|=|IE|$ en $|AF|=|IF|$. (1)
Dus $\angle BSD=\angle IBC=\frac12\widehat B$ en $\angle BDS=\angle CBD=\angle CAD=\frac12\widehat A$.
Analoog hebben we $\angle CTE=\frac12\widehat C$, $\angle CET=\frac12\widehat B$, $\angle ARF=\frac12\widehat A$, $\angle AFR=\frac12\widehat C$. (2)

De sinusregel in driehoeken $\bigtriangleup BSD$, $\bigtriangleup CTE$ en $\bigtriangleup ARF$ geven respectievelijk $\frac{|BS|}{\sin\angle BDS}=\frac{|BD|}{\sin\angle BSD}$, $\frac{|CT|}{\sin\angle CET}=\frac{|CE|}{\sin\angle CTE}$, $\frac{|AR|}{\sin\angle AFR}=\frac{|AF|}{\sin\angle ARF}$.
Als we nu het product van de linkerleden gelijkstellen aan het product van de rechterleden en we gebruiken (1) en (2) Dan staat er gewoon $|AR||BS||CT|= |ID||IE||IF|$, wat te bewijzen was.