f-vgl

$y = f(f(x)) - x$ geeft $f(f(f(x))) \geq f(x+y)+y = f(f(f(x))) + f(f(x)) - x$. Bijgevolg geldt $f(f(x)) \leq x$ voor alle $x$. In het bijzonder geldt $f(f(f(x))) \leq f(x)$ voor alle $x$ en dus $f(x+y)+y \leq f(x)$ voor alle $x,y$.

Neem hier nu $x = 0$ in: $f(y)+y\leq f(0)$. Neem nu $y = -x$: $f(0)-x\leq f(x)$. Uit deze twee ongelijkheden volgt dat $f(x)+x = f(0)$ voor alle $x$, dus $f$ is van de vorm $f(x) = a-x$.

Omgekeerd voldoet elk zo'n $f$ aan de functie-ongelijkheid: het linkerlid is gelijk aan $a-(x+y)+y = a-x$ en het rechterlid is gelijk aan $f(f(a-x)) = f(x) = a-x$.

(Opmerking: de cruciale substitutie $y = f(f(x)) - x$ is niet uit de lucht gegrepen. Je wil namelijk dat er termen (van de vorm $f(\cdots)$) tegen elkaar wegvallen en dat betekent in ons geval concreet dat we graag $f(x+y) = f(f(f(x)))$ willen. Dit geldt alvast voor $y = f(f(x)) - x$ en vandaar die substitutie.)