BxMO 2010

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Een eindige verzameling gehele getallen noemen we slecht als de som van zijn elementen
gelijk is aan $2010.$ Een eindige verzameling gehele getallen is een Benelux-verzameling als geen van zijn deelverzamelingen slecht is.
Bepaal het kleinste gehele getal $n $zodanig dat je de verzameling
$\{502, 503, 504, . . . , 2009\}$ kunt opdelen (partitioneren) in $n$ Benelux-verzamelingen.
(Een opdeling (partitie) van een verzameling $S$ in $n $deelverzamelingen is een collectie van $n$ paarsgewijs
disjuncte verzamelingen van $S,$ waarvan de vereniging (unie) gelijk is aan $S.)$

Vraag 2 Opgelost!

Vind alle polynomen $P(x)$ met reële coëfficiënten die voldoen aan
$P(a + b - 2c) + P(b + c - 2a) + P(c + a - 2b) = 3P(a - b) + 3P(b - c) + 3P(c - a)$
$\forall a, b, c\in\mathbb{R}$.

Vraag 3 Opgelost!

Op een lijn (rechte) $l$ liggen drie verschillende punten $A, B$ en $P$ in die volgorde. Zij
$a$ de lijn door $A$ loodrecht op $ l$, en zij $b$ de lijn door $B$ loodrecht op $ l.$ Een lijn door $P$, die niet
samenvalt met $l,$ snijdt $a$ in $Q$ en $b$ in $R.$ De lijn door $A$ loodrecht op $BQ$ snijdt $BQ$ in $L $ en snijdt
$BR$ in $T.$ De lijn door $B$ loodrecht op $AR$ snijdt $AR$ in $K$ en snijdt $AQ$ in $S.$
(a) Bewijs dat $P, T, S$ op één lijn liggen.
(b) Bewijs dat $P, K, L$ op één lijn liggen.

Vraag 4 Opgelost!

Bepaal alle viertallen $ (a, b, p, n)$ van positieve gehele getallen $(a > 0, b > 0, p > 0,
n > 0),$ zodanig dat $ p $ een priemgetal is en
$a^3 + b^3 = p^n.$