veeltermvergelijking

Als we $a=b=c=0$ kiezen, vinden we dat $P(0)=0$. Dus heeft P geen constante term.

Vullen we $a=b$ in, zien we dat:
$P(2a-2c)+P(c-a)+P(c-a)=3P(0)+3P(a-c)+3P(c-a)$
dus $P(2a-2c)=3P(a-c)+P(-(a-c))$

Stellen we dan $c=a-x$ is de vorige uitdrukking gelijkwaardig met
$P(2x)=3P(x)+P(-x)$

Zetten we nu $P(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+ \cdots +a_1 x$

Herschrijven van de vorige uitdrukking:

$2^n a_nx^n+2^{n-1} a_{n-1} x^{n-1}+\cdots +2 a_1 x$
$=3a_n x^n+3a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+3 a_1x+a_n (-1)^n*x^n+a_{n-1} (-1)^{n-1}x^{n-1}+ \cdots+ a_1 (-1)x$

Gelijkstellen van de coëfficienten van de hoogste term:
$2^n a_n=3a_n+(-1)^n a_n$

We onderscheiden nu twee gevallen: Als $n$ even is, is $n=2$ , als $n$ oneven is, dan is $n=1$.
( dit omdat we kunnen delen door $a_n$ en het rechterlid onafhankelijk geworden is van $n$, maar het linkerlid wel).

Bijgevolg voldoen geen veeltermen met een graad hoger dan $3.$
Het is simpel te controleren dat $P(x)=ax^2+bx$ $\forall a,b \in \mathbb{R}$ voldoet aan de polynoomvgl. en daarmee alle oplossingen weergeeft.