diophantische vergelijking

Opgave - BxMO 2010 dag 1 vraag 4

Bepaal alle viertallen $ (a, b, p, n)$ van positieve gehele getallen $(a > 0, b > 0, p > 0,
n > 0),$ zodanig dat $ p $ een priemgetal is en
$a^3 + b^3 = p^n.$

Oplossing

Door machten van $p$ weg te delen, mogen we er van uitgaan dat $a$ en $b$ niet deelbaar zijn door $p$. (Zolang we deze weggedeelde factoren terug meenemen in de eindoplossing.)

Stel eerst dat $p\neq 3$ en schrijf $c = -b$. Dan is $a-c = a+b$ een deler van $p^n$ en dus een macht van $p$, zeg $a-c = p^m$. Omdat $a+b > 1$, is $m\geq 1$. Maar dan is $p^n = a^3-c^3 = (c+p^m)^3-c^3 = p^m\left(3c^2+3cp^m+p^{2m}\right)$. Als $n>m$ volgt hier uit dat $p$ een deler is van $3c^2$ en dus van $c$ (omdat $p\neq 2$), en dus van $a$ en $b$, en we gingen er van uit dat dit niet zo was. Dus $n = m$, en dus $a-c = p^m = a^3-c^3$, i.e., $a+b = a^3+b^3$, hetgeen enkel kan als $a = b = 1$. In dit geval krijgen we $p = 2$ en $n = 1$. (Alternatief om in te zien dat $p= 2$: lifting the exponent geeft meteen dat als $p \neq 2, 3$ dan is $v_p(a^3+b^3) = v_p(a+b)$, als $a$ en $b$ niet deelbaar zijn door $p$, waaruit dan meteen volgt dat $a^3+b^3 = a+b$ omdat het beiden $p$-machten zijn.)

Voor $p = 3$ zegt lifting the exponent dat $v_3(a^3+b^3) = v_3(a+b) + 1$, dus $a+b = 3^{n-1}$ en $a^2-ab+b^2 = 3$. Bijgevolg is $12 = (2a-b)^2+3b^2$. Omdat $12 = 12+0 = 9+3 = 6+6 = 3+9 = 0+12$ en $b>0$, volgt er dat $b\in\{1,2\}$ en analoog voor $a$. Enkel $1^3+2^3$ geeft een macht van 3, dus $(a,b) = (1,2)$ of $(a,b) = (2,1)$.

Laten we ten slotte niet vergeten te vermenigvuldigen: de mogelijkheden voor $(a,b,n)$ zijn $(2^k,2^k,3k+1)$, $(2\cdot 3^k,3^k,3k+2)$, $(3^k,2\cdot 3^k,3k+2)$ met $k\in\mathbb{N}$.