APMO 2006

Vraag 1 Opgelost!

Zij $n$ een natuurlijk getal. Vind het grootste niet-negatief reëel getal $f(n)$ met de volgende eigenschap: als $a_1,a_2,\ldots,a_n\in\mathbb{R}$ en $a_1+a_2+\cdots+a_n\in\mathbb{Z}$, dan $\exists i\in\{1,...,n\}$ zodat $\left|a_i-\frac12\right|\ge f(n)$.

Vraag 2 Opgelost!

Bewijs dat ieder natuurlijk getal geschreven kan worden als een eindige som van verschillende gehele (niet noodzakelijk positieve) machten van de gulden snede $\displaystyle{\frac{1+\sqrt5}2}$.

Vraag 3

Zij $p\geq5$ een priemgetal en $r$ het aantal manieren om $p$ gelijke damschijven op een $p\times p$ dambord te zetten zodat niet alle damschijven in dezelfde rij staan (maar ze mogen wel allemaal in dezelfde kolom staan). Toon aan dat $r$ deelbaar is door $p^5$.

Vraag 4

Zij $A,B$ twee verschillende punten op een gegeven cirkel $O$ en $P$ het midden van $AB$. Zij $O_1$ de cirkel die raakt aan de rechte $AB$ in $P$ en de cirkel $O$ raakt. Zij $l$ de raaklijn, verschillend van $AB$, aan $O_1$ die door $A$ gaat. Zij $C$ het snijpunt, verschillend van $A$, van $l$ en $O$. Zij $Q$ het midden van het lijnstuk $BC$ en $O_2$ de cirkel die raakt aan de rechte $BC$ in $Q$ en raakt aan $AC$. Bewijs dat de cirkel $O_2$ raakt aan de cirkel $O$.

Vraag 5

In een circus zijn er $n$ clowns die zichzelf opmaken en schminken en daarbij $12$ verschillende kleuren gebruiken. Ieder clown moet minimum $5$ verschillende kleuren gebruiken. Op een bepaalde dag besluit de ringmeester dat er geen twee clowns precies dezelfde verzameling aan kleuren mogen aanhebben, en dat voor ieder kleur maximum $20$ clowns mogen rondlopen met dat kleur. Bepaal de grootste $n$ zodat aan de ringmeester zijn eisen voldaan zijn.