Home › Archief › Internationale Olympiades › APMO › 2006 › maximumprobleem

maximumprobleem

Tags:

Opgave - APMO 2006 vraag 1

Zij $n$ een natuurlijk getal. Vind het grootste niet-negatief reëel getal $f(n)$ met de volgende eigenschap: als $a_1,a_2,\ldots,a_n\in\mathbb{R}$ en $a_1+a_2+\cdots+a_n\in\mathbb{Z}$, dan $\exists i\in\{1,...,n\}$ zodat $\left|a_i-\frac12\right|\ge f(n)$.

Oplossing

Ingediend door arne

Als $n$ even is, dan is $f(n) = 0$, want we kunnen $a_1 = a_2 = \cdots = a_n = \frac12$ kiezen.

Stel dat $n$ oneven is. Dan is de voorwaarde dat $\left\{\left(a_1 - \frac12\right) + \cdots + \left(a_n - \frac12\right)\right\} = \frac12$ (met $\{x\}$ het gedeelte na de komma van $x$).

Door $a_1 = \cdots = a_n = \frac{n + 1}{2n}$ te kiezen zien we dat $f(n) \leq \frac{1}{2n}$.

Het is ook triviaal dat deze grens niet scherper kan worden gemaakt (redeneer eventueel uit het ongerijmde). Dus $f(n) = \frac{1}{2n}$.