APMO 2004

Vraag 1

Bepaal alle eindige niet-lege verzamelingen $S$ van natuurlijke getallen waarvoor geldt dat $\frac{i+j}{\text{ggd}(i,j)}\in S$ voor alle $i,j\in S$.

Vraag 2 Opgelost!

Zij $O$ het midden van de omgeschreven cirkel en $H$ het hoogtepunt van de scherphoekige driehoek $ABC$. Bewijs dat de oppervlakte van één van de driehoeken $AOH,BOH,COH$ gelijk is aan de som van de oppervlaktes van de andere twee.

Vraag 3

Een verzameling $S$ van 2004 punten in het vlak is gegeven, zodanig dat er geen drie collineair zijn. Zij $\Lambda$ de verzameling van alle rechten die gevormd kunnen worden met de punten uit $S$. Toon aan dat het mogelijk is om de punten van $S$ te kleuren met maximum twee kleuren, zodanig dat voor elke twee punten $p,q\in S$, het aantal rechten in $\Lambda$ die $p$ van $q$ scheiden oneven is als en slechts als $p$ en $q$ dezelfde kleur hebben.

Vraag 4 Opgelost!

Bewijs dat $\left\lfloor\frac{(n-1)!}{n(n+1)}\right\rfloor\equiv0\pmod 2$.

Vraag 5

Bewijs dat
$$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq9(ab+bc+ca)$$
voor alle reële $a,b,c>0$.