Home › Archief › Internationale Olympiades › APMO › 2004 › even

even

Tags:

Opgave - APMO 2004 vraag 4

Bewijs dat $\left\lfloor\frac{(n-1)!}{n(n+1)}\right\rfloor\equiv0\pmod 2$.

Oplossing

Ingediend door arne

Voor kleine $n$ zijn er geen problemen, dus neem maar $n \geq 6$ of zoiets. Ook als geen van de getallen $n$ en $n + 1$ een priemgetal is, is er in de verste verte geen probleem. Immers, dan zijn $n$ en $n + 1$ onderling ondeelbare delers van $(n - 1)!$, en het volstaat dan om naar het aantal factoren $2$ in teller en noemer te kijken.

Veronderstel dat $n + 1$ priem is. Het geval waarbij $n$ priem is gaat analoog maar is iets eenvoudiger. De opgave schreeuwt eigenlijk om de stelling van Wilson: $n! \equiv -1\,\pmod{n + 1}$, dus $(n - 1)! \equiv 1\,\pmod{n + 1}$. Omdat $n$ niet priem is, is $\frac{(n - 1)!}{n}$ een even geheel getal. Maar $\frac{(n - 1)!}{n} \equiv -(n - 1)! \equiv -1\,\pmod{n + 1}$ dus $\frac{(n - 1)!}{n(n + 1)} + \frac{1}{n + 1}$ is een natuurlijk getal. Omdat $\frac{(n - 1)!}{n}$ even is, is $\frac{(n - 1)!}{n} + 1$ oneven, en $\frac{(n - 1)!}{n(n + 1)} + \frac{1}{n + 1}$ dus ook. Bijgevolg is het geheel deel van $\frac{(n - 1)!}{n(n + 1)}$ even en we zijn klaar.