Home › Archief › Internationale Olympiades › APMO › 2004 › omgeschreven cirkel

omgeschreven cirkel

Tags:

Opgave - APMO 2004 vraag 2

Zij $O$ het midden van de omgeschreven cirkel en $H$ het hoogtepunt van de scherphoekige driehoek $ABC$. Bewijs dat de oppervlakte van één van de driehoeken $AOH,BOH,COH$ gelijk is aan de som van de oppervlaktes van de andere twee.

Oplossing

Ingediend door Juan

Het geval waar OH door een van de hoekpunten gaat: dit kan alleen als een hoogtelijn ook een middelloodlijn is (een gelijkbenige driehoek) of het hoogtepunt een hoekpunt is (rechthoekige driehoek, geen optie). In dit geval is de stelling triviaal: een van de oppervlakken is 0, en de andere twee zijn duidelijk gelijk uit symmetrieoverwegingen.
Ander geval: Veronderstel dat $A$ aan 1 kant van $OH$ ligt en $B$ en $C$ aan de andere kant. We tonen aan, vermits alle driehoeken gelijke basis $[OH]$ hebben dat $|BB'|+|CC'|=|AA'|$ met ' de notatie voor de loodrechte projectie van een punt op $OH$. Noem $M$ het midden van $[BC]$ Construeer de loodlijn uit $M$ op $[BC]$. Noem het snijpunt met met $OH$ $M'$. Vermits $BB'//CC' // AA' //MM'$ volgt enerzijds uit gelijkvormigheid dat $\frac{|BB'|+|CC'|}{2}=|MM'|$; en anderzijds dat $\triangle AA'Z\sim\triangle MM'Z$ met $\{Z\}=MA\cap OH$. Dit is het zwaartepunt (eulerse lijn), waardoor de gelijkvormigheidsfactor $\frac12$ wordt, en het gevraagde bewezen is (namelijk $|BB'|+|CC'|=2|MM'|=|AA'|$).