APMO 2003

Vraag 1 Opgelost!

Zij $a,b,c,d,e,f$ reële getallen zodat de veelterm
$$p(x)=x^8-4x^7+7x^6+ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+cx+f$$
kan ontbonden worden in acht lineaire factoren $x-x_i$, met $x_i>0$ voor $i=1,2,...,8$. Bepaal alle mogelijke waarden van $f$.

Vraag 2

Veronderstel dat $ABCD$ een vierkant stukje karton is met als lengte van een zijde $a$. In een vlak zijn er twee parallelle rechten $l_1$ en $l_2$, die ook op afstand $a$ van elkaar liggen. Het vierkant $ABCD$ wordt in het vlak gelegd zodat de zijden $AB$ en $AD$ $l_1$ snijden in $E$ en $F$ respectievelijk. De zijden $CB$ en $CD$ snijden $l_2$ in $G,H$ respectievelijk. Stel de omtrekken van driehoeken $AEF$ en $CGH$ respectievelijk gelijk aan $m_1$ en $m_2$. Bewijs dat, ongeacht de positionering van het vierkant $ABCD$, $m_1+m_2$ constant blijft.

Vraag 3

Zij $k\geq14$ een natuurlijk getal en zij $p_k$ het grootste priemgetal strikt kleiner dan $k$. Je mag aannemen dat $p_k\geq3p_k/4$. Zij $n$ een samengesteld natuurlijk getal. Bewijs dat:
(a) als $n=2p_k$, dan deelt $n\not|(n-k)!$,
(b) als $n>2p_k$, dan $n|(n-k)!$.

Vraag 4

Zij $a,b,c$ de zijden van een driehoek en $a+b+c=1$, en $n$ een natuurlijk getal groter dan 1. Bewijs dat
$$\sqrt[n]{a^n+b^n}+\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n}<1+\frac {\sqrt[n]2}2.$$

Vraag 5

Gegeven zijn twee natuurlijke getallen $m$ en $n$. Vind het kleinste natuurlijk getal $k$ zodat onder $k$ mensen, ofwel er $2m$ zijn die $m$ paren van wederzijdse kennissen vormen, ofwel er $2n$ zijn die $n$ paren van wederzijdse niet-kennissen vormen.