Home › Archief › Internationale Olympiades › APMO › 2003 › veelterm

veelterm

Tags:

Opgave - APMO 2003 vraag 1

Zij $a,b,c,d,e,f$ reële getallen zodat de veelterm

$$p(x)=x^8-4x^7+7x^6+ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+cx+f$$

kan ontbonden worden in acht lineaire factoren $x-x_i$, met $x_i>0$ voor $i=1,2,...,8$. Bepaal alle mogelijke waarden van $f$.

Oplossing

Ingediend door C|Debry

Aangezien $\sum_{i=1}^8 x_i = 4$ en $\sum_{1\leq i\leq j\leq 8} x_ix_j = 7$ volgens Viëta, moet

$$\sum_{i=1}^8 x_i^2 = \left(\sum_{i=1}^8 x_i\right)^2 - 2\sum_{1\leq i\leq j\leq 8} x_ix_j = 4^2-2\cdot 7 = 2.$$

Maar volgens AM-QM (wat mag, daar $x_i>0$) is

$$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{2}{8}} = \sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^8 x_i^2}{8}} \geq \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^8 x_i}{8} = \frac{1}{2},$$

dus er treedt gelijkheid op, wat enkel kan als $x_1=x_2=x_3=...=x_8$, dus $4\sum_{i=1}^8 x_i = 8x_1$, dus $x_1=\frac{1}{2}$, en dus $f=\prod_{i=1}^8 x_i = \left(\frac{1}{2}\right)^8$ volgens Viëta.