APMO 2002

Vraag 1 Opgelost!

Zij $a_1,a_2,...,a_n$ een rij van natuurlijke getallen en stel
$$A_n=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}n.$$
Bewijs dat
$$a_1!a_2!...a_n!\geq \left(\lfloor A_n\rfloor!\right)^n$$
en toon aan wanneer gelijkheid optreedt.

Vraag 2

Vind alle natuurlijke getallen $a$ en $b$ zodat
$$\frac{a^2+b}{b^2-a}\text{ en }\frac{b^2+a}{a^2-b}$$
beide natuurlijke getallen zijn.

Vraag 3

Zij $ABC$ een gelijkzijdige driehoek en $P$ een punt op de zijde $AC$ en $Q$ een punt op de zijde $AB$ zodat de driehoeken $ABP$ en $ACQ$ beiden scherphoekig zijn. Zij $R$ het hoogtepunt van driehoek $ABP$ en $S$ het hoogtepunt van driehoek $ACQ$. Zij $T$ het snijpunt van de lijnstukken $BP$ en $CQ$. Vind alle mogelijke waarden van $\angle CBP$ en $\angle BCQ$ zodat de driehoek $TRS$ gelijkzijdig is.

Vraag 4 Opgelost!

Zij $x,y,z$ positieve reële getallen zodat
$$\frac1x+\frac1y+\frac1z=1.$$
Bewijs dat
$$\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\geq\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y} +\sqrt{z}.$$

Vraag 5

Vind alle functies $f\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ die voldoen aan:
(i) er zijn slechts eindig veel $s\in\mathbb R$ zodat $f(s)=0$;
(ii) $f(x^4+y)=x^3f(x)+f(f(y))$ voor alle $x,y\in\mathbb R$.