ongelijkheid

Tags:

Opgave - APMO 2002 vraag 4

Zij $x,y,z$ positieve reële getallen zodat

$\frac1x+\frac1y+\frac1z=1.$

Bewijs dat

$\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\geq\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y} +\sqrt{z}.$

Ingediend door C|Debry

Kwadrateer beide leden van de ongelijkheid om de equivalente ongelijkheid

$\sum(x+yz) + 2\sum\sqrt{(x+yz)(y+zx} \geq (xyz+x+y+z) + 2\left(\sum (x+1)\sqrt{yz}\right)$

Uit het gegeven volgt er dat $xy+yz+zx=xyz$ , zodat we enkel moeten bewijzen dat

$\sum\sqrt{(x+yz)(y+zx)} \geq \sum (x+1)\sqrt{yz}$

Als we nu kunnen bewijzen dat $\sqrt{(x+yz)(y+zx)} \geq (z+1)\sqrt{xy}$ , dan zijn we natuurlijk klaar. Maar dit is equivalent met

$\begin{aligned} & xy+x^2z+y^2z+xyz^2 = (x+yz)(y+zx) \geq xy(z+1)^2 = xyz^2+2xyz+xy \\ & \Longleftrightarrow\ x^2+y^2\geq 2xy,\end{aligned}$

dus we zijn klaar.