Home › Archief › Internationale Olympiades › APMO › 2002 › faculteits-ongelijkheid

faculteits-ongelijkheid

Tags:

Opgave - APMO 2002 vraag 1

Zij $a_1,a_2,...,a_n$ een rij van natuurlijke getallen en stel

$$A_n=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}n.$$

Bewijs dat

$$a_1!a_2!...a_n!\geq \left(\lfloor A_n\rfloor!\right)^n$$

en toon aan wanneer gelijkheid optreedt.

Oplossing

Ingediend door Peter

Door $a_i$ met een te verhogen en $a_j$ met een te verlagen blijft het rechterlid invariant. Het linkerlid verandert wel, de vraag is dus wanneer we dit minimaal krijgen. Daar $a!(a+k)!\ge (a+1)!(a+k-1)!$ voor $k\ge0$ is het linkerlid minimaal wanneer alle getallen gelijk zijn of in totaal hoogstens 1 verschillen. Dus het volstaat dit te bewijzen voor $(a_1,...,a_n)=(k,...,k,k+1,...,k+1)$. Maar dan staat daar

$$\underbrace{k!\cdots k!(k+1)!\cdots (k+1)!}_{\text{n factoren}}\ge k!^n,$$

en dat is triviaal waar.