APMO 1999

Vraag 1

Vind het kleinste natuurlijk getal met de volgende eigenschap: er bestaat geen rekenkundige rij van 1999 reële getallen die precies $n$ gehele getallen bevat.

Vraag 2

Zij $a_1,a_2,...$ een rij die voldoet aan $a_{i+j}\leq a_i+a_j$ voor alle $i,j=1,2,3,...$. Bewijs dat
$$a_1+\frac{a_2}2+\frac{a_3}3+\cdots+\frac{a_n}n\geq a_n$$
voor elk natuurlijk getal $n$.

Vraag 3

Zij $\Gamma_1$ en $\Gamma_2$ twee cirkels die elkaar snijden in $P$ en $Q$. De gemeenschappelijke raaklijn, dichter bij $P$, van $\Gamma_1$ en $\Gamma_2$ raakt aan $\Gamma_1$ in $A$ en $\Gamma_2$ in $B$. De raaklijn van $\Gamma_1$ in $P$ snijdt $\Gamma_2$ in $C$, verschillend van $P$, en het verlengde van $AP$ snijdt $BC$ in $R$. Bewijs dat de omgeschreven cirkel van de driehoek $PQR$ raakt aan $BP$ en $BR$.

Vraag 4 Opgelost!

Bepaal alle koppels natuurlijke getallen $(a,b)$ met de eigenschap dat zowel $a^2+4b$ als $b^2+4a$ volkomen kwadraten zijn.

Vraag 5

Zij $S$ een verzameling van $2n+1$ punten in het vlak zodat er geen drie collineair zijn en geen vier op eenzelfde cirkel liggen. Een cirkel wordt goed genoemd als hij 3 punten van $S$ op zijn omtrek heeft liggen, $n-1$ punten aan de binnenkant, en $n-1$ punten aan de buitenkant. Bewijs dat het aantal goede cirkels even of oneven is naargelang $n$ respectievelijk even of oneven is.