volkomen kwadraten

Opgave - APMO 1999 vraag 4

Bepaal alle koppels natuurlijke getallen $(a,b)$ met de eigenschap dat zowel $a^2+4b$ als $b^2+4a$ volkomen kwadraten zijn.

Oplossing

Stel $b=0$. Dan is $a$ een volkomen kwadraat omdat $4a$ dat is. Analoog voor $a=0$.

Stel nu $0< b< a$. Dan is $a^2< a^2+4b<(a+2)^2$ dus $a^2+4b=(a+1)^2$ zodat $4b=2a+1$, wat onmogelijk is. (even gelijk aan oneven).
Nu moet $0< a=b$. Dan is $(a+1)^2< a^2+4a<(a+2)^2$ zodat $a^2+4a$ geen volkomen kwadraat kan zijn.

De oplossingen zijn dus $(0,n^2)$ en $(n^2,0)$ met $n$ geheel.