APMO 1997

Vraag 1 Opgelost!

Gegeven dat
$$S=1+\frac1{1+\frac13}+\frac1{1+\frac13+\frac16}+\cdots+\frac1{1+\frac13 +\frac16+\frac1{1993006}},$$
waar de noemers partiële sommen bevatten uit de rij van $f(n)=\frac{n(n+1)}2$ met $1\leq n\leq1996$. Bewijs dat $S>1001$.

Vraag 2

Vind een natuurlijk getal $n$, $100\leq n\leq 1997$, zodat
$$\frac{2^n+2}n$$
een natuurlijk getal is.

Vraag 3

Zij $ABC$ een driehoek ingeschreven in een cirkel en zij
$$l_a=\frac{m_a}{M_a},\ l_b=\frac{m_b}{M_b},\ l_b=\frac{m_b}{M_b}$$
waar $m_a,m_b,m_c$ de lengtes van de bissectrices binnen de driehoek zijn en $M_a,M_b,M_c$ de lengtes van de bissectrices zijn tot ze de cirkel raken. Bewijs dat
$$\frac{l_a}{\sin^2A}+\frac{l_b}{\sin^2B}+\frac{l_c}{\sin^2C}\geq3,$$
en dat gelijkheid optreedt als de driehoek gelijkzijdig is.

Vraag 4

Driehoek $A_1A_2A_3$ heeft een rechte hoek in $A_3$. Een rij van punten wordt nu gedefinieerd door het volgende iteratieve proces, waar $n$ een natuurlijk getal is. Uit $A_n\ (n\geq3)$ wordt een loodrechte getekend die $A_{n-2}A_{n-1}$ snijdt in $A_{n+1}$.
(a) Bewijs dat als dit proces oneindig lang wordt uitgevoerd, dan is er slechts één punt $P$ dat binnen elke driehoek $A_{n-2}A_{n-1}A_n$ ligt, $n\geq3$.
(b) Veronderstel dat $n$ mensen $A_1,A_2,...,A_n,\ (n\geq3)$ in een cirkel zitten in volgorde, en dus ook $A_1$ naast $A_n$, en iedere persoon $A_i$ heeft $a_i$ voorwerpen zodat
$$a_1+a_2+\cdots+a_n=nN,$$
met $N$ een natuurlijk getal. Opdat ieder persoon evenveel voorwerpen zou hebben, moet ieder persoon een aantal voorwerpen geven of krijgen van zijn twee buren. Hoe moet deze herverdeling gebeuren zodat het totaal aantal overgedragen voorwerpen minimaal is.

Vraag 5

$n$ personen zitten in een cirkel. Een totaal van $nk$ munten wordt verdeeld onder deze personen, niet noodzakelijk gelijk. Een beweging wordt gedefinieerd als de overdracht van een enkele munt tussen twee naburige personen. Vind een algoritme voor het minimum aantal nodige bewegingen die resulteert in een gelijke verdeling van de munten over de $n$ personen.