Home › Archief › Internationale Olympiades › APMO › 1997 › rechthoekige driehoek

rechthoekige driehoek

Tags:

Opgave - APMO 1997 vraag 4

Driehoek $A_1A_2A_3$ heeft een rechte hoek in $A_3$. Een rij van punten wordt nu gedefinieerd door het volgende iteratieve proces, waar $n$ een natuurlijk getal is. Uit $A_n\ (n\geq3)$ wordt een loodrechte getekend die $A_{n-2}A_{n-1}$ snijdt in $A_{n+1}$.
(a) Bewijs dat als dit proces oneindig lang wordt uitgevoerd, dan is er slechts één punt $P$ dat binnen elke driehoek $A_{n-2}A_{n-1}A_n$ ligt, $n\geq3$.
(b) Veronderstel dat $n$ mensen $A_1,A_2,...,A_n,\ (n\geq3)$ in een cirkel zitten in volgorde, en dus ook $A_1$ naast $A_n$, en iedere persoon $A_i$ heeft $a_i$ voorwerpen zodat

$$a_1+a_2+\cdots+a_n=nN,$$

met $N$ een natuurlijk getal. Opdat ieder persoon evenveel voorwerpen zou hebben, moet ieder persoon een aantal voorwerpen geven of krijgen van zijn twee buren. Hoe moet deze herverdeling gebeuren zodat het totaal aantal overgedragen voorwerpen minimaal is.