driehoeksgetallen
Opgave - APMO 1997 vraag 1
Gegeven dat
$$S=1+\frac1{1+\frac13}+\frac1{1+\frac13+\frac16}+\cdots+\frac1{1+\frac13 +\frac16+\frac1{1993006}},$$
waar de noemers partiële sommen bevatten uit de rij van $f(n)=\frac{n(n+1)}2$ met $1\leq n\leq1996$. Bewijs dat $S>1001$.
- login om te reageren
Oplossing
In formulevorm: $S=\sum_{n=1}^{1996}\frac1{\sum_{k=1}^n\left(\frac2{k(k+1)}\right)}$
Nu is $\sum_{k=1}^n\left(\frac2{k(k+1)}\right)=2\sum_{k=1}^n\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)=2*\left(\frac11-\frac1{n+1}\right)=\frac{2n}{n+1}$.
We hebben dus $S=\sum_{n=1}^{1996}\frac{n+1}{2n}=998+\frac12\sum_{n=1}^{1996}\frac1n$
Kijken we naar de grafiek van $f(x)=\frac1x$, en tekenen we $1996$ rechthoekjes met als basis een lijnstuk van $(k,0)$ tot $(k+1,0)$ en hoogte $\frac1k$ ($k$ gaande van $1$ tot $1996$) dan zien we dat $\sum_{n=1}^{1996}\frac1n>\int_1^{1997}\frac{\mathrm dx}{x}=\ln1997>\log_31997>\log_3729=6$.
Dus $S=998+\frac12\sum_{n=1}^{1996}\frac1n>998+\frac62=1001$.